Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elbigo2 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem elbigo2 42346
Description: Properties of a function of order G(x) under certain assumptions. (Contributed by AV, 17-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
elbigo2 |- ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) -> ( F e. (_O ` G ) <-> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. B ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, G, m, y   m, F, x, y   A, m, x, y   B, m, x, y
Proof of Theorem elbigo2
StepHypRef Expression
1 elbigo 42345 . . . 4 |- ( F e. (_O ` G ) <-> ( F e. ( RR ^pm RR ) /\ G e. ( RR ^pm RR ) /\ E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) ) )
2 df-3an 1039 . . . 4 |- ( ( F e. ( RR ^pm RR ) /\ G e. ( RR ^pm RR ) /\ E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) ) <-> ( ( F e. ( RR ^pm RR ) /\ G e. ( RR ^pm RR ) ) /\ E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) ) )
31, 2bitri 264 . . 3 |- ( F e. (_O ` G ) <-> ( ( F e. ( RR ^pm RR ) /\ G e. ( RR ^pm RR ) ) /\ E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) ) )
4 reex 10027 . . . . . . 7 |- RR e. _V
54, 4pm3.2i 471 . . . . . 6 |- ( RR e. _V /\ RR e. _V )
65a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) -> ( RR e. _V /\ RR e. _V ) )
7 simpl 473 . . . . . 6 |- ( ( F : B --> RR /\ B C_ A ) -> F : B --> RR )
87adantl 482 . . . . 5 |- ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) -> F : B --> RR )
9 sstr2 3610 . . . . . . . 8 |- ( B C_ A -> ( A C_ RR -> B C_ RR ) )
109adantld 483 . . . . . . 7 |- ( B C_ A -> ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) -> B C_ RR ) )
1110adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( F : B --> RR /\ B C_ A ) -> ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) -> B C_ RR ) )
1211impcom 446 . . . . 5 |- ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) -> B C_ RR )
13 elpm2r 7875 . . . . 5 |- ( ( ( RR e. _V /\ RR e. _V ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ RR ) ) -> F e. ( RR ^pm RR ) )
146, 8, 12, 13syl12anc 1324 . . . 4 |- ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) -> F e. ( RR ^pm RR ) )
15 simpl 473 . . . . 5 |- ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) -> ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) )
16 elpm2r 7875 . . . . 5 |- ( ( ( RR e. _V /\ RR e. _V ) /\ ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) ) -> G e. ( RR ^pm RR ) )
176, 15, 16syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) -> G e. ( RR ^pm RR ) )
18 ibar 525 . . . . 5 |- ( ( F e. ( RR ^pm RR ) /\ G e. ( RR ^pm RR ) ) -> ( E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) <-> ( ( F e. ( RR ^pm RR ) /\ G e. ( RR ^pm RR ) ) /\ E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) ) ) )
1918bicomd 213 . . . 4 |- ( ( F e. ( RR ^pm RR ) /\ G e. ( RR ^pm RR ) ) -> ( ( ( F e. ( RR ^pm RR ) /\ G e. ( RR ^pm RR ) ) /\ E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) ) <-> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) ) )
2014, 17, 19syl2anc 693 . . 3 |- ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) -> ( ( ( F e. ( RR ^pm RR ) /\ G e. ( RR ^pm RR ) ) /\ E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) ) <-> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) ) )
213, 20syl5bb 272 . 2 |- ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) -> ( F e. (_O ` G ) <-> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) ) )
22 elin 3796 . . . . . . . 8 |- ( y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) <-> ( y e. dom F /\ y e. ( x [,) +oo ) ) )
23 fdm 6051 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : B --> RR -> dom F = B )
2423ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) -> dom F = B )
2524ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) -> dom F = B )
2625eleq2d 2687 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) -> ( y e. dom F <-> y e. B ) )
2726anbi1d 741 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) -> ( ( y e. dom F /\ y e. ( x [,) +oo ) ) <-> ( y e. B /\ y e. ( x [,) +oo ) ) ) )
28 elicopnf 12269 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( y e. ( x [,) +oo ) <-> ( y e. RR /\ x <_ y ) ) )
2928ad3antlr 767 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) /\ y e. B ) -> ( y e. ( x [,) +oo ) <-> ( y e. RR /\ x <_ y ) ) )
3012ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) -> B C_ RR )
3130sselda 3603 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) /\ y e. B ) -> y e. RR )
3231biantrurd 529 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) /\ y e. B ) -> ( x <_ y <-> ( y e. RR /\ x <_ y ) ) )
3329, 32bitr4d 271 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) /\ y e. B ) -> ( y e. ( x [,) +oo ) <-> x <_ y ) )
3433pm5.32da 673 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) -> ( ( y e. B /\ y e. ( x [,) +oo ) ) <-> ( y e. B /\ x <_ y ) ) )
3527, 34bitrd 268 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) -> ( ( y e. dom F /\ y e. ( x [,) +oo ) ) <-> ( y e. B /\ x <_ y ) ) )
3622, 35syl5bb 272 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) -> ( y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) <-> ( y e. B /\ x <_ y ) ) )
3736imbi1d 331 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) -> ( ( y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) -> ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) ) <-> ( ( y e. B /\ x <_ y ) -> ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) ) ) )
38 impexp 462 . . . . . 6 |- ( ( ( y e. B /\ x <_ y ) -> ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) ) <-> ( y e. B -> ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) ) ) )
3937, 38syl6bb 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) -> ( ( y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) -> ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) ) <-> ( y e. B -> ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) ) ) ) )
4039ralbidv2 2984 . . . 4 |- ( ( ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) -> ( A. y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) <-> A. y e. B ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) ) ) )
4140rexbidva 3049 . . 3 |- ( ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) /\ x e. RR ) -> ( E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) <-> E. m e. RR A. y e. B ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) ) ) )
4241rexbidva 3049 . 2 |- ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) -> ( E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) <-> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. B ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) ) ) )
4321, 42bitrd 268 1 |- ( ( ( G : A --> RR /\ A C_ RR ) /\ ( F : B --> RR /\ B C_ A ) ) -> ( F e. (_O ` G ) <-> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. B ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( m x. ( G ` y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   RRcr 9935   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   [,)cico 12177  _Ocbigo 42341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181  df-bigo 42342
This theorem is referenced by:  elbigo2r  42347  elbigoimp  42350  elbigolo1  42351
  Copyright terms: Public domain W3C validator