Theorem elicopnf 12269

Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elicopnf	|- ( A e. RR -> ( B e. ( A [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B ) ) )

Proof of Theorem elicopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 10092	. . 3 |- +oo e. RR*
2		elico2 12237	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( B e. ( A [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B /\ B < +oo ) ) )
3	1, 2	mpan2 707	. 2 |- ( A e. RR -> ( B e. ( A [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B /\ B < +oo ) ) )
4		ltpnf 11954	. . . . 5 |- ( B e. RR -> B < +oo )
5	4	adantr 481	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A <_ B ) -> B < +oo )
6	5	pm4.71i 664	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A <_ B ) <-> ( ( B e. RR /\ A <_ B ) /\ B < +oo ) )
7		df-3an 1039	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A <_ B /\ B < +oo ) <-> ( ( B e. RR /\ A <_ B ) /\ B < +oo ) )
8	6, 7	bitr4i 267	. 2 |- ( ( B e. RR /\ A <_ B ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B /\ B < +oo ) )
9	3, 8	syl6bbr 278	1 |- ( A e. RR -> ( B e. ( A [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   [,)cico 12177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181

This theorem is referenced by:  elrege0  12278  rexico  14093  limsupgle  14208  limsupgre  14212  rlim3  14229  ello12  14247  lo1bdd2  14255  elo12  14258  lo1resb  14295  rlimresb  14296  o1resb  14297  lo1eq  14299  rlimeq  14300  rlimsqzlem  14379  o1fsum  14545  ovolicopnf  23292  dvfsumrlimge0  23793  dvfsumrlim  23794  dvfsumrlim2  23795  cxp2lim  24703  chebbnd1  25161  chtppilimlem1  25162  chtppilimlem2  25163  chtppilim  25164  chebbnd2  25166  chto1lb  25167  chpchtlim  25168  chpo1ub  25169  vmadivsumb  25172  dchrisumlema  25177  dchrisumlem2  25179  dchrisumlem3  25180  dchrmusumlema  25182  dchrmusum2  25183  dchrvmasumlem2  25187  dchrvmasumiflem1  25190  dchrisum0lema  25203  dchrisum0lem1b  25204  dchrisum0lem2a  25206  dchrisum0lem2  25207  2vmadivsumlem  25229  selbergb  25238  selberg2b  25241  chpdifbndlem1  25242  selberg3lem1  25246  selberg3lem2  25247  selberg4lem1  25249  pntrsumo1  25254  selbergsb  25264  pntrlog2bndlem3  25268  pntpbnd1  25275  pntpbnd2  25276  pntibndlem3  25281  pntlemn  25289  pntlem3  25298  pntleml  25300  pnt2  25302  uzssico  29546  itg2addnclem2  33462  elbigo2  42346  rege1logbrege0  42352  blennnelnn  42370  dignnld  42397