Theorem elixpsn 7947

Description: Membership in a class of singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elixpsn	|- ( A e. V -> ( F e. X_ x e. { A } B <-> E. y e. B F = { <. A , y >. } ) )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, F, y   x, A, y   x, V, y

Proof of Theorem elixpsn

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4187	. . . 4 |- ( z = A -> { z } = { A } )
2	1	ixpeq1d 7920	. . 3 |- ( z = A -> X_ x e. { z } B = X_ x e. { A } B )
3	2	eleq2d 2687	. 2 |- ( z = A -> ( F e. X_ x e. { z } B <-> F e. X_ x e. { A } B ) )
4		opeq1 4402	. . . . 5 |- ( z = A -> <. z , y >. = <. A , y >. )
5	4	sneqd 4189	. . . 4 |- ( z = A -> { <. z , y >. } = { <. A , y >. } )
6	5	eqeq2d 2632	. . 3 |- ( z = A -> ( F = { <. z , y >. } <-> F = { <. A , y >. } ) )
7	6	rexbidv 3052	. 2 |- ( z = A -> ( E. y e. B F = { <. z , y >. } <-> E. y e. B F = { <. A , y >. } ) )
8		elex 3212	. . 3 |- ( F e. X_ x e. { z } B -> F e. _V )
9		snex 4908	. . . . 5 |- { <. z , y >. } e. _V
10		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( F = { <. z , y >. } -> ( F e. _V <-> { <. z , y >. } e. _V ) )
11	9, 10	mpbiri 248	. . . 4 |- ( F = { <. z , y >. } -> F e. _V )
12	11	rexlimivw 3029	. . 3 |- ( E. y e. B F = { <. z , y >. } -> F e. _V )
13		eleq1 2689	. . . 4 |- ( w = F -> ( w e. X_ x e. { z } B <-> F e. X_ x e. { z } B ) )
14		eqeq1 2626	. . . . 5 |- ( w = F -> ( w = { <. z , y >. } <-> F = { <. z , y >. } ) )
15	14	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( w = F -> ( E. y e. B w = { <. z , y >. } <-> E. y e. B F = { <. z , y >. } ) )
16		vex 3203	. . . . . 6 |- w e. _V
17	16	elixp 7915	. . . . 5 |- ( w e. X_ x e. { z } B <-> ( w Fn { z } /\ A. x e. { z } ( w ` x ) e. B ) )
18		vex 3203	. . . . . . 7 |- z e. _V
19		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( w ` x ) = ( w ` z ) )
20	19	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( w ` x ) e. B <-> ( w ` z ) e. B ) )
21	18, 20	ralsn 4222	. . . . . 6 |- ( A. x e. { z } ( w ` x ) e. B <-> ( w ` z ) e. B )
22	21	anbi2i 730	. . . . 5 |- ( ( w Fn { z } /\ A. x e. { z } ( w ` x ) e. B ) <-> ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) )
23		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) -> w Fn { z } )
24		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> ( w ` y ) = ( w ` z ) )
25	24	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( ( w ` y ) e. B <-> ( w ` z ) e. B ) )
26	18, 25	ralsn 4222	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. { z } ( w ` y ) e. B <-> ( w ` z ) e. B )
27	26	biimpri 218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w ` z ) e. B -> A. y e. { z } ( w ` y ) e. B )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) -> A. y e. { z } ( w ` y ) e. B )
29		ffnfv 6388	. . . . . . . . 9 |- ( w : { z } --> B <-> ( w Fn { z } /\ A. y e. { z } ( w ` y ) e. B ) )
30	23, 28, 29	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) -> w : { z } --> B )
31	18	fsn2 6403	. . . . . . . 8 |- ( w : { z } --> B <-> ( ( w ` z ) e. B /\ w = { <. z , ( w ` z ) >. } ) )
32	30, 31	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) -> ( ( w ` z ) e. B /\ w = { <. z , ( w ` z ) >. } ) )
33		opeq2 4403	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( w ` z ) -> <. z , y >. = <. z , ( w ` z ) >. )
34	33	sneqd 4189	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( w ` z ) -> { <. z , y >. } = { <. z , ( w ` z ) >. } )
35	34	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( y = ( w ` z ) -> ( w = { <. z , y >. } <-> w = { <. z , ( w ` z ) >. } ) )
36	35	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( w ` z ) e. B /\ w = { <. z , ( w ` z ) >. } ) -> E. y e. B w = { <. z , y >. } )
37	32, 36	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) -> E. y e. B w = { <. z , y >. } )
38		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
39	18, 38	fvsn 6446	. . . . . . . . . 10 |- ( { <. z , y >. } ` z ) = y
40		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. B -> y e. B )
41	39, 40	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> ( { <. z , y >. } ` z ) e. B )
42	18, 38	fnsn 5946	. . . . . . . . 9 |- { <. z , y >. } Fn { z }
43	41, 42	jctil 560	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> ( { <. z , y >. } Fn { z } /\ ( { <. z , y >. } ` z ) e. B ) )
44		fneq1 5979	. . . . . . . . 9 |- ( w = { <. z , y >. } -> ( w Fn { z } <-> { <. z , y >. } Fn { z } ) )
45		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 |- ( w = { <. z , y >. } -> ( w ` z ) = ( { <. z , y >. } ` z ) )
46	45	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( w = { <. z , y >. } -> ( ( w ` z ) e. B <-> ( { <. z , y >. } ` z ) e. B ) )
47	44, 46	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( w = { <. z , y >. } -> ( ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) <-> ( { <. z , y >. } Fn { z } /\ ( { <. z , y >. } ` z ) e. B ) ) )
48	43, 47	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( y e. B -> ( w = { <. z , y >. } -> ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) ) )
49	48	rexlimiv 3027	. . . . . 6 |- ( E. y e. B w = { <. z , y >. } -> ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) )
50	37, 49	impbii 199	. . . . 5 |- ( ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) <-> E. y e. B w = { <. z , y >. } )
51	17, 22, 50	3bitri 286	. . . 4 |- ( w e. X_ x e. { z } B <-> E. y e. B w = { <. z , y >. } )
52	13, 15, 51	vtoclbg 3267	. . 3 |- ( F e. _V -> ( F e. X_ x e. { z } B <-> E. y e. B F = { <. z , y >. } ) )
53	8, 12, 52	pm5.21nii 368	. 2 |- ( F e. X_ x e. { z } B <-> E. y e. B F = { <. z , y >. } )
54	3, 7, 53	vtoclbg 3267	1 |- ( A e. V -> ( F e. X_ x e. { A } B <-> E. y e. B F = { <. A , y >. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   {csn 4177   <.cop 4183   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   X_cixp 7908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ixp 7909

This theorem is referenced by:  ixpsnf1o  7948  hoidmv1le  40808