Theorem hoidmv1le 40808

Description: The dimensional volume of a 1-dimensional half-open interval is less than or equal to the generalized sum of the dimensional volumes of countable half-open intervals that cover it. This is one of the two base cases of the induction of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 29 (the other base case is the 0-dimensional case). This proof of the 1-dimensional case is given in Lemma 114B of [Fremlin1] p. 23. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmv1le.l	|- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
hoidmv1le.z	|- ( ph -> Z e. V )
hoidmv1le.x	|- X = { Z }
hoidmv1le.a	|- ( ph -> A : X --> RR )
hoidmv1le.b	|- ( ph -> B : X --> RR )
hoidmv1le.c	|- ( ph -> C : NN --> ( RR ^m X ) )
hoidmv1le.d	|- ( ph -> D : NN --> ( RR ^m X ) )
hoidmv1le.s	|- ( ph -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
hoidmv1le	|- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, k   A, a, b, j, k, x   B, a, b, j, k, x   C, a, b, j, k, x   D, a, b, j, k, x   k, V   X, a, b, k, x   j, Z, k, x   ph, a, b, j, x

Allowed substitution hints:   ph( k)   L( x, j, k, a, b)   V( x, j, a, b)   X( j)   Z( a, b)

Proof of Theorem hoidmv1le

Dummy variables i w z y l h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoidmv1le.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B : X --> RR )
2		hoidmv1le.z	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Z e. V )
3		snidg 4206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Z e. V -> Z e. { Z } )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Z e. { Z } )
5		hoidmv1le.x	. . . . . . . . . . 11 |- X = { Z }
6	4, 5	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Z e. X )
7	1, 6	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B ` Z ) e. RR )
8		hoidmv1le.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A : X --> RR )
9	8, 6	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ` Z ) e. RR )
10	7, 9	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) e. RR )
11	10	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) e. RR* )
12		pnfxr 10092	. . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> +oo e. RR* )
14	10	ltpnfd 11955	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) < +oo )
15	11, 13, 14	xrltled 39486	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) <_ +oo )
16	15	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) = +oo ) -> ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) <_ +oo )
17		id 22	. . . . . . 7 |- ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) = +oo -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) = +oo )
18	17	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) = +oo -> +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) )
19	18	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) = +oo ) -> +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) )
20	16, 19	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) = +oo ) -> ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) )
21		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) /\ -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) = +oo ) -> ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) )
22		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) /\ -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) = +oo ) -> -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) = +oo )
23		nnex 11026	. . . . . . . 8 |- NN e. _V
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) /\ -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) = +oo ) -> NN e. _V )
25		hoidmv1le.l	. . . . . . . . . . . 12 |- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
26	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X = { Z } )
27		snfi 8038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { Z } e. Fin
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { Z } e. Fin )
29	26, 28	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. Fin )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> X e. Fin )
31		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Z e. X -> X =/= (/) )
32	6, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X =/= (/) )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> X =/= (/) )
34		hoidmv1le.c	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> C : NN --> ( RR ^m X ) )
35	34	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. ( RR ^m X ) )
36		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C ` j ) e. ( RR ^m X ) -> ( C ` j ) : X --> RR )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) : X --> RR )
38		hoidmv1le.d	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> D : NN --> ( RR ^m X ) )
39	38	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. ( RR ^m X ) )
40		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D ` j ) e. ( RR ^m X ) -> ( D ` j ) : X --> RR )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) : X --> RR )
42	25, 30, 33, 37, 41	hoidmvn0val 40798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) )
43	5	prodeq1i 14648	. . . . . . . . . . . 12 |- prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) = prod_ k e. { Z } ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) = prod_ k e. { Z } ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) )
45	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> Z e. V )
46	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> Z e. X )
47	37, 46	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ` Z ) e. RR )
48	41, 46	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( D ` j ) ` Z ) e. RR )
49		volicore 40795	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( C ` j ) ` Z ) e. RR /\ ( ( D ` j ) ` Z ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) e. RR )
50	47, 48, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) e. RR )
51	50	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) e. CC )
52		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = Z -> ( ( C ` j ) ` k ) = ( ( C ` j ) ` Z ) )
53		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = Z -> ( ( D ` j ) ` k ) = ( ( D ` j ) ` Z ) )
54	52, 53	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = Z -> ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) = ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
55	54	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = Z -> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) )
56	55	prodsn 14692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Z e. V /\ ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) e. CC ) -> prod_ k e. { Z } ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) )
57	45, 51, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> prod_ k e. { Z } ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) )
58	42, 44, 57	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) = ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) )
59	58	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) )
60		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = l -> ( a ` k ) = ( a ` l ) )
61		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = l -> ( b ` k ) = ( b ` l ) )
62	60, 61	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = l -> ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) = ( ( a ` l ) [,) ( b ` l ) ) )
63	62	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = l -> ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( a ` l ) [,) ( b ` l ) ) ) )
64	63	cbvprodv 14646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) = prod_ l e. x ( vol ` ( ( a ` l ) [,) ( b ` l ) ) )
65		ifeq2 4091	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) = prod_ l e. x ( vol ` ( ( a ` l ) [,) ( b ` l ) ) ) -> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) = if ( x = (/) , 0 , prod_ l e. x ( vol ` ( ( a ` l ) [,) ( b ` l ) ) ) ) )
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) = if ( x = (/) , 0 , prod_ l e. x ( vol ` ( ( a ` l ) [,) ( b ` l ) ) ) )
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. ( RR ^m x ) /\ b e. ( RR ^m x ) ) -> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) = if ( x = (/) , 0 , prod_ l e. x ( vol ` ( ( a ` l ) [,) ( b ` l ) ) ) ) )
68	67	mpt2eq3ia 6720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) = ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ l e. x ( vol ` ( ( a ` l ) [,) ( b ` l ) ) ) ) )
69	68	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) ) = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ l e. x ( vol ` ( ( a ` l ) [,) ( b ` l ) ) ) ) ) )
70	25, 69	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ l e. x ( vol ` ( ( a ` l ) [,) ( b ` l ) ) ) ) ) )
71	70, 30, 37, 41	hoidmvcl 40796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
72		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) )
73	71, 72	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
74		icossicc 12260	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo ) )
76	73, 75	fssd 6057	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
77	59, 76	feq1dd 39347	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
78	77	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) /\ -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) = +oo ) -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
79	24, 78	sge0repnf 40603	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) /\ -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) = +oo ) -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) = +oo ) )
80	22, 79	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) /\ -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) e. RR )
81	9	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( A ` Z ) e. RR )
82	7	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( B ` Z ) e. RR )
83		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( A ` Z ) < ( B ` Z ) )
84		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) = ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) )
85	47, 84	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) : NN --> RR )
86	85	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) : NN --> RR )
87		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) = ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) )
88	48, 87	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) : NN --> RR )
89	88	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) : NN --> RR )
90		hoidmv1le.s	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
91	5	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. X <-> k e. { Z } )
92	91	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. X -> k e. { Z } )
93		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. { Z } -> k = Z )
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. X -> k = Z )
95	94, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. X -> ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) = ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
96	95	rgen 2922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- A. k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) = ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) )
97		ixpeq2 7922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) = ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) -> X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) = X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
98	96, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) = X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) )
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. NN -> X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) = X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
100	99	iuneq2i 4539	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) = U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) )
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) = U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
102	90, 101	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
104		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) -> x e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) )
105		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) -> { <. Z , x >. } = { <. Z , x >. } )
106		opeq2 4403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = x -> <. Z , y >. = <. Z , x >. )
107	106	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = x -> { <. Z , y >. } = { <. Z , x >. } )
108	107	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = x -> ( { <. Z , x >. } = { <. Z , y >. } <-> { <. Z , x >. } = { <. Z , x >. } ) )
109	108	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) /\ { <. Z , x >. } = { <. Z , x >. } ) -> E. y e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) { <. Z , x >. } = { <. Z , y >. } )
110	104, 105, 109	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) -> E. y e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) { <. Z , x >. } = { <. Z , y >. } )
111	110	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) -> E. y e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) { <. Z , x >. } = { <. Z , y >. } )
112		elixpsn 7947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Z e. V -> ( { <. Z , x >. } e. X_ k e. { Z } ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) <-> E. y e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) { <. Z , x >. } = { <. Z , y >. } ) )
113	2, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( { <. Z , x >. } e. X_ k e. { Z } ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) <-> E. y e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) { <. Z , x >. } = { <. Z , y >. } ) )
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) -> ( { <. Z , x >. } e. X_ k e. { Z } ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) <-> E. y e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) { <. Z , x >. } = { <. Z , y >. } ) )
115	111, 114	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) -> { <. Z , x >. } e. X_ k e. { Z } ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) )
116	5	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { Z } = X
117		ixpeq1 7919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( { Z } = X -> X_ k e. { Z } ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) = X_ k e. X ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) )
118	116, 117	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- X_ k e. { Z } ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) = X_ k e. X ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) )
119		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = Z -> ( A ` k ) = ( A ` Z ) )
120	94, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. X -> ( A ` k ) = ( A ` Z ) )
121		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = Z -> ( B ` k ) = ( B ` Z ) )
122	94, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. X -> ( B ` k ) = ( B ` Z ) )
123	120, 122	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. X -> ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) = ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) )
124	123	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. X -> ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) = ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
125	124	rgen 2922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- A. k e. X ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) = ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) )
126		ixpeq2 7922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. k e. X ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) = ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) -> X_ k e. X ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
127	125, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- X_ k e. X ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) )
128	118, 127	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- X_ k e. { Z } ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) )
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> X_ k e. { Z } ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
130	129	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) -> X_ k e. { Z } ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
131	115, 130	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) -> { <. Z , x >. } e. X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
132	103, 131	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) -> { <. Z , x >. } e. U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
133		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { <. Z , x >. } e. U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) <-> E. j e. NN { <. Z , x >. } e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
134	132, 133	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) -> E. j e. NN { <. Z , x >. } e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
135		ixpeq1 7919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( X = { Z } -> X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) = X_ k e. { Z } ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
136	5, 135	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) = X_ k e. { Z } ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) )
137	136	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( { <. Z , x >. } e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) <-> { <. Z , x >. } e. X_ k e. { Z } ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
138	137	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { <. Z , x >. } e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) -> { <. Z , x >. } e. X_ k e. { Z } ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
139	138	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ { <. Z , x >. } e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> { <. Z , x >. } e. X_ k e. { Z } ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
140		elixpsn 7947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Z e. V -> ( { <. Z , x >. } e. X_ k e. { Z } ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) <-> E. y e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) { <. Z , x >. } = { <. Z , y >. } ) )
141	2, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( { <. Z , x >. } e. X_ k e. { Z } ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) <-> E. y e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) { <. Z , x >. } = { <. Z , y >. } ) )
142	141	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ { <. Z , x >. } e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> ( { <. Z , x >. } e. X_ k e. { Z } ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) <-> E. y e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) { <. Z , x >. } = { <. Z , y >. } ) )
143	139, 142	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ { <. Z , x >. } e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> E. y e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) { <. Z , x >. } = { <. Z , y >. } )
144		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- <. Z , x >. e. _V
145	144	sneqr 4371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( { <. Z , x >. } = { <. Z , y >. } -> <. Z , x >. = <. Z , y >. )
146	145	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ { <. Z , x >. } = { <. Z , y >. } ) -> <. Z , x >. = <. Z , y >. )
147		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- x e. _V
148	147	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> x e. _V )
149		opthg 4946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Z e. V /\ x e. _V ) -> ( <. Z , x >. = <. Z , y >. <-> ( Z = Z /\ x = y ) ) )
150	2, 148, 149	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( <. Z , x >. = <. Z , y >. <-> ( Z = Z /\ x = y ) ) )
151	150	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ { <. Z , x >. } = { <. Z , y >. } ) -> ( <. Z , x >. = <. Z , y >. <-> ( Z = Z /\ x = y ) ) )
152	146, 151	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ { <. Z , x >. } = { <. Z , y >. } ) -> ( Z = Z /\ x = y ) )
153	152	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ { <. Z , x >. } = { <. Z , y >. } ) -> x = y )
154	153	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ y e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) /\ { <. Z , x >. } = { <. Z , y >. } ) -> x = y )
155		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ y e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) /\ { <. Z , x >. } = { <. Z , y >. } ) -> y e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
156	154, 155	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ y e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) /\ { <. Z , x >. } = { <. Z , y >. } ) -> x e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
157	156	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( y e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) -> ( { <. Z , x >. } = { <. Z , y >. } -> x e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) )
158	157	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ { <. Z , x >. } e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> ( y e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) -> ( { <. Z , x >. } = { <. Z , y >. } -> x e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) )
159	158	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ { <. Z , x >. } e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> ( E. y e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) { <. Z , x >. } = { <. Z , y >. } -> x e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) )
160	143, 159	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ { <. Z , x >. } e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> x e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
161	160	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( { <. Z , x >. } e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) -> x e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) )
162	161	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) /\ j e. NN ) -> ( { <. Z , x >. } e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) -> x e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) )
163	162	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) -> ( E. j e. NN { <. Z , x >. } e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) -> E. j e. NN x e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) )
164	134, 163	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) -> E. j e. NN x e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
165		eliun 4524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. U_ j e. NN ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) <-> E. j e. NN x e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
166	164, 165	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) -> x e. U_ j e. NN ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
167	166	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) x e. U_ j e. NN ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
168		dfss3 3592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) C_ U_ j e. NN ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) <-> A. x e. ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) x e. U_ j e. NN ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
169	167, 168	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) C_ U_ j e. NN ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
170		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) = ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) )
171		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = i -> ( C ` j ) = ( C ` i ) )
172	171	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = i -> ( ( C ` j ) ` Z ) = ( ( C ` i ) ` Z ) )
173	172	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ j = i ) -> ( ( C ` j ) ` Z ) = ( ( C ` i ) ` Z ) )
174		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. NN )
175		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( C ` i ) ` Z ) e. _V )
176	170, 173, 174, 175	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) ` i ) = ( ( C ` i ) ` Z ) )
177		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) = ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
178		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = i -> ( D ` j ) = ( D ` i ) )
179	178	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = i -> ( ( D ` j ) ` Z ) = ( ( D ` i ) ` Z ) )
180	179	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ j = i ) -> ( ( D ` j ) ` Z ) = ( ( D ` i ) ` Z ) )
181		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( D ` i ) ` Z ) e. _V )
182	177, 180, 174, 181	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) = ( ( D ` i ) ` Z ) )
183	176, 182	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) ` i ) [,) ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) ) = ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) )
184	183	iuneq2dv 4542	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U_ i e. NN ( ( ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) ` i ) [,) ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) ) = U_ i e. NN ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) )
185	172, 179	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = i -> ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) = ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) )
186	185	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . . 12 |- U_ j e. NN ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) = U_ i e. NN ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) )
187	186	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . 11 |- U_ i e. NN ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) = U_ j e. NN ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) )
188	187	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U_ i e. NN ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) = U_ j e. NN ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
189	184, 188	eqtr2d 2657	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U_ j e. NN ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) = U_ i e. NN ( ( ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) ` i ) [,) ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) ) )
190	169, 189	sseqtrd 3641	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) C_ U_ i e. NN ( ( ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) ` i ) [,) ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) ) )
191	190	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) C_ U_ i e. NN ( ( ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) ` i ) [,) ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) ) )
192		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C ` i ) ` Z ) e. _V
193	172, 84, 192	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. NN -> ( ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) ` i ) = ( ( C ` i ) ` Z ) )
194		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D ` i ) ` Z ) e. _V
195	179, 87, 194	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. NN -> ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) = ( ( D ` i ) ` Z ) )
196	193, 195	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. NN -> ( ( ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) ` i ) [,) ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) ) = ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) )
197	196	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. NN -> ( vol ` ( ( ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) ` i ) [,) ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) ) ) = ( vol ` ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) ) )
198	197	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) ` i ) [,) ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) ) ) ) = ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) ) )
199		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = i <-> i = j )
200	199	imbi1i 339	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j = i -> ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) = ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) ) <-> ( i = j -> ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) = ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) ) )
201		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) = ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) <-> ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) = ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
202	201	imbi2i 326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i = j -> ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) = ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) ) <-> ( i = j -> ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) = ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) )
203	200, 202	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j = i -> ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) = ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) ) <-> ( i = j -> ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) = ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) )
204	185, 203	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) = ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
205	204	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( vol ` ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) ) = ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) )
206	205	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) )
207	198, 206	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) ` i ) [,) ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) )
208	207	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) ` i ) [,) ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) )
209	208	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) e. RR ) -> (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) ` i ) [,) ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) )
210		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) e. RR ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) e. RR )
211	209, 210	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) e. RR ) -> (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) ` i ) [,) ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) ) ) ) ) e. RR )
212		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( w = z -> ( w - ( A ` Z ) ) = ( z - ( A ` Z ) ) )
213	195	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. NN -> ( ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) <_ z <-> ( ( D ` i ) ` Z ) <_ z ) )
214	213, 195	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. NN -> if ( ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) <_ z , ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) , z ) = if ( ( ( D ` i ) ` Z ) <_ z , ( ( D ` i ) ` Z ) , z ) )
215	193, 214	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. NN -> ( ( ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) ` i ) [,) if ( ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) <_ z , ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) , z ) ) = ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` i ) ` Z ) <_ z , ( ( D ` i ) ` Z ) , z ) ) )
216	215	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. NN -> ( vol ` ( ( ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) ` i ) [,) if ( ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) <_ z , ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) , z ) ) ) = ( vol ` ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` i ) ` Z ) <_ z , ( ( D ` i ) ` Z ) , z ) ) ) )
217	216	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) ` i ) [,) if ( ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) <_ z , ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) , z ) ) ) ) = ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` i ) ` Z ) <_ z , ( ( D ` i ) ` Z ) , z ) ) ) )
218		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = h -> ( C ` i ) = ( C ` h ) )
219	218	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = h -> ( ( C ` i ) ` Z ) = ( ( C ` h ) ` Z ) )
220		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = h -> ( D ` i ) = ( D ` h ) )
221	220	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = h -> ( ( D ` i ) ` Z ) = ( ( D ` h ) ` Z ) )
222	221	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = h -> ( ( ( D ` i ) ` Z ) <_ z <-> ( ( D ` h ) ` Z ) <_ z ) )
223	222, 221	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = h -> if ( ( ( D ` i ) ` Z ) <_ z , ( ( D ` i ) ` Z ) , z ) = if ( ( ( D ` h ) ` Z ) <_ z , ( ( D ` h ) ` Z ) , z ) )
224	219, 223	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = h -> ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` i ) ` Z ) <_ z , ( ( D ` i ) ` Z ) , z ) ) = ( ( ( C ` h ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` h ) ` Z ) <_ z , ( ( D ` h ) ` Z ) , z ) ) )
225	224	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = h -> ( vol ` ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` i ) ` Z ) <_ z , ( ( D ` i ) ` Z ) , z ) ) ) = ( vol ` ( ( ( C ` h ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` h ) ` Z ) <_ z , ( ( D ` h ) ` Z ) , z ) ) ) )
226	225	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` i ) ` Z ) <_ z , ( ( D ` i ) ` Z ) , z ) ) ) ) = ( h e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` h ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` h ) ` Z ) <_ z , ( ( D ` h ) ` Z ) , z ) ) ) )
227	217, 226	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) ` i ) [,) if ( ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) <_ z , ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) , z ) ) ) ) = ( h e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` h ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` h ) ` Z ) <_ z , ( ( D ` h ) ` Z ) , z ) ) ) )
228	227	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = z -> ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) ` i ) [,) if ( ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) <_ z , ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) , z ) ) ) ) = ( h e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` h ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` h ) ` Z ) <_ z , ( ( D ` h ) ` Z ) , z ) ) ) ) )
229		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = z -> ( ( ( D ` h ) ` Z ) <_ w <-> ( ( D ` h ) ` Z ) <_ z ) )
230		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = z -> w = z )
231	229, 230	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = z -> if ( ( ( D ` h ) ` Z ) <_ w , ( ( D ` h ) ` Z ) , w ) = if ( ( ( D ` h ) ` Z ) <_ z , ( ( D ` h ) ` Z ) , z ) )
232	231	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = z -> if ( ( ( D ` h ) ` Z ) <_ z , ( ( D ` h ) ` Z ) , z ) = if ( ( ( D ` h ) ` Z ) <_ w , ( ( D ` h ) ` Z ) , w ) )
233	232	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = z -> ( ( ( C ` h ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` h ) ` Z ) <_ z , ( ( D ` h ) ` Z ) , z ) ) = ( ( ( C ` h ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` h ) ` Z ) <_ w , ( ( D ` h ) ` Z ) , w ) ) )
234	233	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = z -> ( vol ` ( ( ( C ` h ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` h ) ` Z ) <_ z , ( ( D ` h ) ` Z ) , z ) ) ) = ( vol ` ( ( ( C ` h ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` h ) ` Z ) <_ w , ( ( D ` h ) ` Z ) , w ) ) ) )
235	234	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = z -> ( h e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` h ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` h ) ` Z ) <_ z , ( ( D ` h ) ` Z ) , z ) ) ) ) = ( h e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` h ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` h ) ` Z ) <_ w , ( ( D ` h ) ` Z ) , w ) ) ) ) )
236	228, 235	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> ( h e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` h ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` h ) ` Z ) <_ w , ( ( D ` h ) ` Z ) , w ) ) ) ) = ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) ` i ) [,) if ( ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) <_ z , ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) , z ) ) ) ) )
237	236	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( w = z -> (Σ^ ` ( h e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` h ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` h ) ` Z ) <_ w , ( ( D ` h ) ` Z ) , w ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) ` i ) [,) if ( ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) <_ z , ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) , z ) ) ) ) ) )
238	212, 237	breq12d 4666	. . . . . . . 8 |- ( w = z -> ( ( w - ( A ` Z ) ) <_ (Σ^ ` ( h e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` h ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` h ) ` Z ) <_ w , ( ( D ` h ) ` Z ) , w ) ) ) ) ) <-> ( z - ( A ` Z ) ) <_ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) ` i ) [,) if ( ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) <_ z , ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) , z ) ) ) ) ) ) )
239	238	cbvrabv 3199	. . . . . . 7 |- { w e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( w - ( A ` Z ) ) <_ (Σ^ ` ( h e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` h ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` h ) ` Z ) <_ w , ( ( D ` h ) ` Z ) , w ) ) ) ) ) } = { z e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( z - ( A ` Z ) ) <_ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) ` i ) [,) if ( ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) <_ z , ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) , z ) ) ) ) ) }
240		eqid 2622	. . . . . . 7 |- sup ( { w e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( w - ( A ` Z ) ) <_ (Σ^ ` ( h e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` h ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` h ) ` Z ) <_ w , ( ( D ` h ) ` Z ) , w ) ) ) ) ) } , RR , < ) = sup ( { w e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( w - ( A ` Z ) ) <_ (Σ^ ` ( h e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` h ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` h ) ` Z ) <_ w , ( ( D ` h ) ` Z ) , w ) ) ) ) ) } , RR , < )
241	81, 82, 83, 86, 89, 191, 211, 239, 240	hoidmv1lelem3 40807	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) <_ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ` Z ) ) ` i ) [,) ( ( j e. NN |-> ( ( D ` j ) ` Z ) ) ` i ) ) ) ) ) )
242	241, 209	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) )
243	21, 80, 242	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) /\ -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) = +oo ) -> ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) )
244	20, 243	pm2.61dan 832	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) -> ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) )
245	25, 29, 32, 8, 1	hoidmvn0val 40798	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
246	26	prodeq1d 14651	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = prod_ k e. { Z } ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
247		volicore 40795	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ` Z ) e. RR /\ ( B ` Z ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) e. RR )
248	9, 7, 247	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) e. RR )
249	248	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) e. CC )
250	119, 121	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( k = Z -> ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) = ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) )
251	250	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( k = Z -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) )
252	251	prodsn 14692	. . . . . . . 8 |- ( ( Z e. V /\ ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) e. CC ) -> prod_ k e. { Z } ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) )
253	2, 249, 252	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ k e. { Z } ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) )
254	245, 246, 253	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) )
255	254	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) -> ( A ( L ` X ) B ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) )
256		volico 40200	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ` Z ) e. RR /\ ( B ` Z ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) = if ( ( A ` Z ) < ( B ` Z ) , ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) , 0 ) )
257	9, 7, 256	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) = if ( ( A ` Z ) < ( B ` Z ) , ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) , 0 ) )
258	257	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) = if ( ( A ` Z ) < ( B ` Z ) , ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) , 0 ) )
259		iftrue 4092	. . . . . 6 |- ( ( A ` Z ) < ( B ` Z ) -> if ( ( A ` Z ) < ( B ` Z ) , ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) , 0 ) = ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) )
260	259	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) -> if ( ( A ` Z ) < ( B ` Z ) , ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) , 0 ) = ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) )
261	255, 258, 260	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) -> ( A ( L ` X ) B ) = ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) )
262	59	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) )
263	262	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) )
264	261, 263	breq12d 4666	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) -> ( ( A ( L ` X ) B ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) <-> ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) ) ) )
265	244, 264	mpbird 247	. 2 |- ( ( ph /\ ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) -> ( A ( L ` X ) B ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) )
266	245	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) -> ( A ( L ` X ) B ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
267	246	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = prod_ k e. { Z } ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
268	253	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) -> prod_ k e. { Z } ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) )
269	257	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) = if ( ( A ` Z ) < ( B ` Z ) , ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) , 0 ) )
270		iffalse 4095	. . . . . 6 |- ( -. ( A ` Z ) < ( B ` Z ) -> if ( ( A ` Z ) < ( B ` Z ) , ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) , 0 ) = 0 )
271	270	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) -> if ( ( A ` Z ) < ( B ` Z ) , ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) , 0 ) = 0 )
272	268, 269, 271	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) -> prod_ k e. { Z } ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = 0 )
273	266, 267, 272	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) -> ( A ( L ` X ) B ) = 0 )
274	23	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> NN e. _V )
275	274, 76	sge0ge0 40601	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) )
276	275	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) -> 0 <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) )
277	273, 276	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ( ph /\ -. ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) -> ( A ( L ` X ) B ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) )
278	265, 277	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   prod_cprod 14635   volcvol 23232  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  hoidmvle  40814