Theorem resixpfo 7946

Description: Restriction of elements of an infinite Cartesian product creates a surjection, if the original Cartesian product is nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
resixpfo.1	|- F = ( f e. X_ x e. A C |-> ( f |` B ) )

Assertion

Ref	Expression
resixpfo	|- ( ( B C_ A /\ X_ x e. A C =/= (/) ) -> F : X_ x e. A C -onto-> X_ x e. B C )

Distinct variable groups:   x, f, A   B, f, x   C, f

Allowed substitution hints:   C( x)   F( x, f)

Proof of Theorem resixpfo

Dummy variables g h y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resixp 7943	. . . 4 |- ( ( B C_ A /\ f e. X_ x e. A C ) -> ( f |` B ) e. X_ x e. B C )
2		resixpfo.1	. . . 4 |- F = ( f e. X_ x e. A C |-> ( f |` B ) )
3	1, 2	fmptd 6385	. . 3 |- ( B C_ A -> F : X_ x e. A C --> X_ x e. B C )
4	3	adantr 481	. 2 |- ( ( B C_ A /\ X_ x e. A C =/= (/) ) -> F : X_ x e. A C --> X_ x e. B C )
5		n0 3931	. . . 4 |- ( X_ x e. A C =/= (/) <-> E. g g e. X_ x e. A C )
6		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( z e. B <-> x e. B ) )
7	6	ifbid 4108	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> if ( z e. B , h , g ) = if ( x e. B , h , g ) )
8		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> z = x )
9	7, 8	fveq12d 6197	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) = ( if ( x e. B , h , g ) ` x ) )
10	9	cbvmptv 4750	. . . . . . . . 9 |- ( z e. A |-> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) ) = ( x e. A |-> ( if ( x e. B , h , g ) ` x ) )
11		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- g e. _V
12	11	elixp 7915	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. X_ x e. A C <-> ( g Fn A /\ A. x e. A ( g ` x ) e. C ) )
13	12	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. X_ x e. A C -> A. x e. A ( g ` x ) e. C )
14		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- h e. _V
15	14	elixp 7915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h e. X_ x e. B C <-> ( h Fn B /\ A. x e. B ( h ` x ) e. C ) )
16	15	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h e. X_ x e. B C -> A. x e. B ( h ` x ) e. C )
17		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h = if ( x e. B , h , g ) -> ( h ` x ) = ( if ( x e. B , h , g ) ` x ) )
18	17	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h = if ( x e. B , h , g ) -> ( ( h ` x ) e. C <-> ( if ( x e. B , h , g ) ` x ) e. C ) )
19		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( g = if ( x e. B , h , g ) -> ( g ` x ) = ( if ( x e. B , h , g ) ` x ) )
20	19	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( g = if ( x e. B , h , g ) -> ( ( g ` x ) e. C <-> ( if ( x e. B , h , g ) ` x ) e. C ) )
21		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. B -> ( h ` x ) e. C ) /\ ( x e. A /\ ( g ` x ) e. C ) ) -> ( x e. B -> ( h ` x ) e. C ) )
22	21	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( x e. B -> ( h ` x ) e. C ) /\ ( x e. A /\ ( g ` x ) e. C ) ) /\ x e. B ) -> ( h ` x ) e. C )
23		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( x e. B -> ( h ` x ) e. C ) /\ ( x e. A /\ ( g ` x ) e. C ) ) /\ -. x e. B ) -> ( g ` x ) e. C )
24	18, 20, 22, 23	ifbothda 4123	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. B -> ( h ` x ) e. C ) /\ ( x e. A /\ ( g ` x ) e. C ) ) -> ( if ( x e. B , h , g ) ` x ) e. C )
25	24	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. B -> ( h ` x ) e. C ) -> ( x e. A -> ( ( g ` x ) e. C -> ( if ( x e. B , h , g ) ` x ) e. C ) ) )
26	25	ralimi2 2949	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. B ( h ` x ) e. C -> A. x e. A ( ( g ` x ) e. C -> ( if ( x e. B , h , g ) ` x ) e. C ) )
27	16, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h e. X_ x e. B C -> A. x e. A ( ( g ` x ) e. C -> ( if ( x e. B , h , g ) ` x ) e. C ) )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B C_ A /\ h e. X_ x e. B C ) -> A. x e. A ( ( g ` x ) e. C -> ( if ( x e. B , h , g ) ` x ) e. C ) )
29		ralim 2948	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. A ( ( g ` x ) e. C -> ( if ( x e. B , h , g ) ` x ) e. C ) -> ( A. x e. A ( g ` x ) e. C -> A. x e. A ( if ( x e. B , h , g ) ` x ) e. C ) )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B C_ A /\ h e. X_ x e. B C ) -> ( A. x e. A ( g ` x ) e. C -> A. x e. A ( if ( x e. B , h , g ) ` x ) e. C ) )
31	30	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B C_ A /\ h e. X_ x e. B C ) /\ A. x e. A ( g ` x ) e. C ) -> A. x e. A ( if ( x e. B , h , g ) ` x ) e. C )
32	13, 31	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ A /\ h e. X_ x e. B C ) /\ g e. X_ x e. A C ) -> A. x e. A ( if ( x e. B , h , g ) ` x ) e. C )
33		n0i 3920	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. X_ x e. A C -> -. X_ x e. A C = (/) )
34		ixpprc 7929	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A e. _V -> X_ x e. A C = (/) )
35	33, 34	nsyl2 142	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. X_ x e. A C -> A e. _V )
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B C_ A /\ h e. X_ x e. B C ) /\ g e. X_ x e. A C ) -> A e. _V )
37		mptelixpg 7945	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. _V -> ( ( x e. A |-> ( if ( x e. B , h , g ) ` x ) ) e. X_ x e. A C <-> A. x e. A ( if ( x e. B , h , g ) ` x ) e. C ) )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ A /\ h e. X_ x e. B C ) /\ g e. X_ x e. A C ) -> ( ( x e. A |-> ( if ( x e. B , h , g ) ` x ) ) e. X_ x e. A C <-> A. x e. A ( if ( x e. B , h , g ) ` x ) e. C ) )
39	32, 38	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ A /\ h e. X_ x e. B C ) /\ g e. X_ x e. A C ) -> ( x e. A |-> ( if ( x e. B , h , g ) ` x ) ) e. X_ x e. A C )
40	10, 39	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ A /\ h e. X_ x e. B C ) /\ g e. X_ x e. A C ) -> ( z e. A |-> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) ) e. X_ x e. A C )
41		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. B -> if ( z e. B , h , g ) = h )
42	41	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. B -> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) = ( h ` z ) )
43	42	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. B |-> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) ) = ( z e. B |-> ( h ` z ) )
44		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B C_ A -> ( ( z e. A |-> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) ) |` B ) = ( z e. B |-> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) ) )
45	44	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B C_ A /\ h e. X_ x e. B C ) /\ g e. X_ x e. A C ) -> ( ( z e. A |-> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) ) |` B ) = ( z e. B |-> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) ) )
46		ixpfn 7914	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h e. X_ x e. B C -> h Fn B )
47	46	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ A /\ h e. X_ x e. B C ) /\ g e. X_ x e. A C ) -> h Fn B )
48		dffn5 6241	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h Fn B <-> h = ( z e. B |-> ( h ` z ) ) )
49	47, 48	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B C_ A /\ h e. X_ x e. B C ) /\ g e. X_ x e. A C ) -> h = ( z e. B |-> ( h ` z ) ) )
50	43, 45, 49	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B C_ A /\ h e. X_ x e. B C ) /\ g e. X_ x e. A C ) -> ( ( z e. A |-> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) ) |` B ) = h )
51	50, 14	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ A /\ h e. X_ x e. B C ) /\ g e. X_ x e. A C ) -> ( ( z e. A |-> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) ) |` B ) e. _V )
52		reseq1 5390	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( z e. A |-> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) ) -> ( f |` B ) = ( ( z e. A |-> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) ) |` B ) )
53	52, 2	fvmptg 6280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. A |-> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) ) e. X_ x e. A C /\ ( ( z e. A |-> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) ) |` B ) e. _V ) -> ( F ` ( z e. A |-> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) ) ) = ( ( z e. A |-> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) ) |` B ) )
54	40, 51, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ A /\ h e. X_ x e. B C ) /\ g e. X_ x e. A C ) -> ( F ` ( z e. A |-> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) ) ) = ( ( z e. A |-> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) ) |` B ) )
55	54, 50	eqtr2d 2657	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ A /\ h e. X_ x e. B C ) /\ g e. X_ x e. A C ) -> h = ( F ` ( z e. A |-> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) ) ) )
56		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( z e. A |-> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( z e. A |-> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) ) ) )
57	56	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( z e. A |-> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) ) -> ( h = ( F ` y ) <-> h = ( F ` ( z e. A |-> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) ) ) ) )
58	57	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. A |-> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) ) e. X_ x e. A C /\ h = ( F ` ( z e. A |-> ( if ( z e. B , h , g ) ` z ) ) ) ) -> E. y e. X_ x e. A C h = ( F ` y ) )
59	40, 55, 58	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( B C_ A /\ h e. X_ x e. B C ) /\ g e. X_ x e. A C ) -> E. y e. X_ x e. A C h = ( F ` y ) )
60	59	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( B C_ A /\ h e. X_ x e. B C ) -> ( g e. X_ x e. A C -> E. y e. X_ x e. A C h = ( F ` y ) ) )
61	60	ralrimdva 2969	. . . . 5 |- ( B C_ A -> ( g e. X_ x e. A C -> A. h e. X_ x e. B C E. y e. X_ x e. A C h = ( F ` y ) ) )
62	61	exlimdv 1861	. . . 4 |- ( B C_ A -> ( E. g g e. X_ x e. A C -> A. h e. X_ x e. B C E. y e. X_ x e. A C h = ( F ` y ) ) )
63	5, 62	syl5bi 232	. . 3 |- ( B C_ A -> ( X_ x e. A C =/= (/) -> A. h e. X_ x e. B C E. y e. X_ x e. A C h = ( F ` y ) ) )
64	63	imp 445	. 2 |- ( ( B C_ A /\ X_ x e. A C =/= (/) ) -> A. h e. X_ x e. B C E. y e. X_ x e. A C h = ( F ` y ) )
65		dffo3 6374	. 2 |- ( F : X_ x e. A C -onto-> X_ x e. B C <-> ( F : X_ x e. A C --> X_ x e. B C /\ A. h e. X_ x e. B C E. y e. X_ x e. A C h = ( F ` y ) ) )
66	4, 64, 65	sylanbrc 698	1 |- ( ( B C_ A /\ X_ x e. A C =/= (/) ) -> F : X_ x e. A C -onto-> X_ x e. B C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888   X_cixp 7908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ixp 7909

This theorem is referenced by:  ptcmplem2  21857