Theorem ello1d 14254

Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ello1mpt.1	|- ( ph -> A C_ RR )
ello1mpt.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
ello1d.3	|- ( ph -> C e. RR )
ello1d.4	|- ( ph -> M e. RR )
ello1d.5	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ C <_ x ) ) -> B <_ M )

Assertion

Ref	Expression
ello1d	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x   x, M

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem ello1d

Dummy variables m y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ello1d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
2		ello1d.4	. . 3 |- ( ph -> M e. RR )
3		ello1d.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ C <_ x ) ) -> B <_ M )
4	3	expr 643	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C <_ x -> B <_ M ) )
5	4	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. x e. A ( C <_ x -> B <_ M ) )
6		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( y = C -> ( y <_ x <-> C <_ x ) )
7	6	imbi1d 331	. . . . 5 |- ( y = C -> ( ( y <_ x -> B <_ m ) <-> ( C <_ x -> B <_ m ) ) )
8	7	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( y = C -> ( A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) <-> A. x e. A ( C <_ x -> B <_ m ) ) )
9		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( B <_ m <-> B <_ M ) )
10	9	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ( C <_ x -> B <_ m ) <-> ( C <_ x -> B <_ M ) ) )
11	10	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( m = M -> ( A. x e. A ( C <_ x -> B <_ m ) <-> A. x e. A ( C <_ x -> B <_ M ) ) )
12	8, 11	rspc2ev 3324	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ M e. RR /\ A. x e. A ( C <_ x -> B <_ M ) ) -> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) )
13	1, 2, 5, 12	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) )
14		ello1mpt.1	. . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
15		ello1mpt.2	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
16	14, 15	ello1mpt 14252	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )
17	13, 16	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   RRcr 9935   <_ cle 10075   <_O(1)clo1 14218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181  df-lo1 14222

This theorem is referenced by:  elo1d  14267  o1lo12  14269  icco1  14271  lo1const  14351  dirith2  25217  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem6  25272