Theorem lo1bdd2 14255

Description: If an eventually bounded function is bounded on every interval A i^i ( -oo , y ) by a function M ( y ), then the function is bounded on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lo1bdd2.1	|- ( ph -> A C_ RR )
lo1bdd2.2	|- ( ph -> C e. RR )
lo1bdd2.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
lo1bdd2.4	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )
lo1bdd2.5	|- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> M e. RR )
lo1bdd2.6	|- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( ( y e. RR /\ C <_ y ) /\ x < y ) ) -> B <_ M )

Assertion

Ref	Expression
lo1bdd2	|- ( ph -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m )

Distinct variable groups:   x, m, y, A   B, m, y   x, C, y   ph, x, y   m, M, x

Allowed substitution hints:   ph( m)   B( x)   C( m)   M( y)

Proof of Theorem lo1bdd2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lo1bdd2.4	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )
2		lo1bdd2.1	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
3		lo1bdd2.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
4		lo1bdd2.2	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR )
5	2, 3, 4	ello1mpt2 14253	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. y e. ( C [,) +oo ) E. n e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) ) )
6	1, 5	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> E. y e. ( C [,) +oo ) E. n e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) )
7		elicopnf 12269	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. RR -> ( y e. ( C [,) +oo ) <-> ( y e. RR /\ C <_ y ) ) )
8	4, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. ( C [,) +oo ) <-> ( y e. RR /\ C <_ y ) ) )
9	8	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) -> ( y e. RR /\ C <_ y ) )
10		lo1bdd2.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> M e. RR )
11	9, 10	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) -> M e. RR )
12	11	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ ( n e. RR /\ A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) ) ) /\ n <_ M ) -> M e. RR )
13		simplrl 800	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ ( n e. RR /\ A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) ) ) /\ -. n <_ M ) -> n e. RR )
14	12, 13	ifclda 4120	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ ( n e. RR /\ A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) ) ) -> if ( n <_ M , M , n ) e. RR )
15	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) -> A C_ RR )
16	15	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> x e. RR )
17	9	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) -> y e. RR )
18	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
19	16, 18	ltnled 10184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( x < y <-> -. y <_ x ) )
20		lo1bdd2.6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( ( y e. RR /\ C <_ y ) /\ x < y ) ) -> B <_ M )
21	20	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> ( x < y -> B <_ M ) )
22	21	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) /\ x e. A ) -> ( x < y -> B <_ M ) )
23	22	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> ( x e. A -> ( x < y -> B <_ M ) ) )
24	9, 23	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) -> ( x e. A -> ( x < y -> B <_ M ) ) )
25	24	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ x e. A ) -> ( x < y -> B <_ M ) )
26	25	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( x < y -> B <_ M ) )
27		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> n e. RR )
28	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> M e. RR )
29		max2 12018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. RR /\ M e. RR ) -> M <_ if ( n <_ M , M , n ) )
30	27, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> M <_ if ( n <_ M , M , n ) )
31		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) -> ph )
32	31, 3	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
33	11	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) /\ n <_ M ) -> M e. RR )
34		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) /\ -. n <_ M ) -> n e. RR )
35	33, 34	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> if ( n <_ M , M , n ) e. RR )
36		letr 10131	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR /\ M e. RR /\ if ( n <_ M , M , n ) e. RR ) -> ( ( B <_ M /\ M <_ if ( n <_ M , M , n ) ) -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
37	32, 28, 35, 36	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( B <_ M /\ M <_ if ( n <_ M , M , n ) ) -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
38	30, 37	mpan2d 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( B <_ M -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
39	26, 38	syld 47	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( x < y -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
40	19, 39	sylbird 250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( -. y <_ x -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
41		max1 12016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. RR /\ M e. RR ) -> n <_ if ( n <_ M , M , n ) )
42	27, 28, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> n <_ if ( n <_ M , M , n ) )
43		letr 10131	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. RR /\ n e. RR /\ if ( n <_ M , M , n ) e. RR ) -> ( ( B <_ n /\ n <_ if ( n <_ M , M , n ) ) -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
44	32, 27, 35, 43	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( B <_ n /\ n <_ if ( n <_ M , M , n ) ) -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
45	42, 44	mpan2d 710	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( B <_ n -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
46	40, 45	jad 174	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( y <_ x -> B <_ n ) -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
47	46	ralimdva 2962	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) -> ( A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) -> A. x e. A B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
48	47	impr 649	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ ( n e. RR /\ A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) ) ) -> A. x e. A B <_ if ( n <_ M , M , n ) )
49		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( m = if ( n <_ M , M , n ) -> ( B <_ m <-> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
50	49	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( m = if ( n <_ M , M , n ) -> ( A. x e. A B <_ m <-> A. x e. A B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
51	50	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( if ( n <_ M , M , n ) e. RR /\ A. x e. A B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m )
52	14, 48, 51	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ ( n e. RR /\ A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) ) ) -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m )
53	52	expr 643	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) -> ( A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m ) )
54	53	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) -> ( E. n e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m ) )
55	54	rexlimdva 3031	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. ( C [,) +oo ) E. n e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m ) )
56	6, 55	mpd 15	1 |- ( ph -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729  (class class class)co 6650   RRcr 9935   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   [,)cico 12177   <_O(1)clo1 14218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181  df-lo1 14222

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  14256  o1bdd2  14272