pntrlog2bndlem4 - Metamath Proof Explorer

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Theorem pntrlog2bndlem4 25269

Description: Lemma for pntrlog2bnd 25273. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pntsval.1	Λ ψ
pntrlog2bnd.r	ψ
pntrlog2bnd.t

**Assertion**
Ref	Expression
pntrlog2bndlem4

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem4 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2	1	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
3		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
5		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
6		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
7	6	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
8	7	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
9	5, 2, 8	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
10	2, 4, 9	rpgecld 11911	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
11	10	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
12		flge0nn0 12621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
14		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
16	15	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
17	10, 16	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
18		pntrlog2bnd.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ψ
19	18	pntrval 25251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ψ
20	17, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ψ
21	2, 15	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
22		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
24		flltp1 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
25	2, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
26	15	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
27	26	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
28	25, 27	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
29	2, 5, 16	ltdivmuld 11923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
30	28, 29	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
31		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
33	21, 5, 23, 30, 32	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
34		chpeq0 24933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ψ
35	21, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ψ
36	33, 35	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ψ
37	36	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ψ
38	20, 37	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
39	38	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
40		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
41	17	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
42	40, 21, 41	abssuble0d 14171	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
43	21	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
44	43	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
45	39, 42, 44	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
46	13	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
47		pntsval.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Λ ψ
48	47	pntsval2 25265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Λ Λ Λ
49	46, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ Λ Λ Λ
50	13	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
51		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
52	50, 51	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
53	52	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
54	47	pntsval2 25265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Λ Λ Λ
55	2, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ Λ Λ Λ
56		flidm 12610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
57	2, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
58	57	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
59	58	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ Λ Λ Λ Λ Λ Λ
60	55, 59	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ Λ Λ Λ
61	49, 53, 60	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
62	52	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
63	62	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	61, 63	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	45, 64	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66	2	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
67	66	div1d 10793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
68	67	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
69	18	pntrf 25252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
70	69	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
71	10, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
72	68, 71	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
73	72	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
74	73	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
75	74	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
76	75	mul01d 10235	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
77	65, 76	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 $/\$
78	47	pntsf 25262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
79	78	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . 16
80	2, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
81		pntrlog2bnd.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
82		relogcl 24322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
83		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
84	82, 83	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
85		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
86	84, 85	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87	81, 86	fmpti 6383	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
88	87	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
89	46, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
90	23, 89	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
91	80, 90	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
92	21, 91	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
93	92	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
94	93	subid1d 10381	. . . . . . . . . . 11 $/\$
95	77, 94	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$
96	2	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
97		fzval3 12536	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
99	98	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
100	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
101		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
102	101	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
103	102	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
104	100, 103	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
105	69	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
107	106	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
108	107	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
109	108	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
110	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
111	103, 110	rpaddcld 11887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
112	100, 111	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
113	69	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
115	114	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
116	115	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
117	116	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
118	109, 117	negsubdi2d 10408	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
119	118	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
120	102	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
121		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
122	120, 121	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
123	122	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
124	122	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
125		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
126		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
127		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
128		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
129	127, 128	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130	126, 129	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
132		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
133	131, 132	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
134	130, 81, 133	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
135	125, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
136		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
137	135, 136	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
138	103, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
139	124, 138	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
140	139	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
141	123, 140	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
142	119, 141	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
143	108, 116	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
144	143	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
145	102	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
146	78	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
147	145, 146	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
148	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
149	103	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
150	145, 149	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
151	148, 150	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
152	147, 151	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
153	152	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
154	144, 153	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
155	142, 154	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
156	99, 155	sumeq12rdv 14438	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
157		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
158	143, 152	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
159	158	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
160	157, 159	fsumneg 14519	. . . . . . . . . . 11 $/\$
161	156, 160	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
162	95, 161	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
163		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14
164	163	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13
165	164	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12
166		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14
167	166	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13
168	166	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14
169	168	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13
170	167, 169	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12
171	165, 170	jca 554	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14
173	172	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13
174	173	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12
175		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14
176	175	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13
177	175	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14
178	177	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13
179	176, 178	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12
180	174, 179	jca 554	. . . . . . . . . . 11 $/\$
181		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14
182	181	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13
183	182	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12
184		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
185		1m1e0 11089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
186	184, 185	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16
187	186	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15
188		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . 16
189		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
190		0z 11388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
191		flid 12609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
192	190, 191	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
193	189, 192	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
194	193	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
195		fz10 12362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
196	194, 195	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
197	196	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Λ ψ Λ ψ
198		sum0 14452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Λ ψ
199	197, 198	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Λ ψ
200	199, 47, 132	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . 16
201	188, 200	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
202	187, 201	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14
203	186	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
204		rpne0 11848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
205	204	necon2bi 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
206	205	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
207	206, 81, 132	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
208	188, 207	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
209	203, 208	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16
210	209	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15
211		2t0e0 11183	. . . . . . . . . . . . . . 15
212	210, 211	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14
213	202, 212	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13
214		0m0e0 11130	. . . . . . . . . . . . 13
215	213, 214	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12
216	183, 215	jca 554	. . . . . . . . . . 11 $/\$
217		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14
218	217	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13
219	218	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12
220		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14
221	220	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13
222	220	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14
223	222	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13
224	221, 223	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12
225	219, 224	jca 554	. . . . . . . . . . 11 $/\$
226		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . 12
227	15, 226	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 $/\$
228	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
229		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
230	229	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
231	230	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
232	228, 231	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
233	69	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . 15
234	232, 233	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
235	234	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
236	235	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
237	236	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
238	230	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
239		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
240	238, 239	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
241	78	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . 14
242	240, 241	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
243	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
244	87	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . 15
245	240, 244	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
246	243, 245	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
247	242, 246	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
248	247	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
249	171, 180, 216, 225, 227, 237, 248	fsumparts 14538	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ ..^
250	147	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
251	87	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
252	145, 251	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
253	148, 252	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
254	253	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
255		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
256	145, 255	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
257	78	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . 16
258	256, 257	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
259	258	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
260	87	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
261	256, 260	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
262	148, 261	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
263	262	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
264	250, 254, 259, 263	sub4d 10441	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
265	124	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
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267	266	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
268		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
269	252	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
270	261	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
271	268, 269, 270	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
272	271	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
273	264, 267, 272	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
274	273	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
275	99, 274	sumeq12rdv 14438	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
276	249, 275	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
277	157, 159	fsumcl 14464	. . . . . . . . . 10 $/\$
278	93, 277	subnegd 10399	. . . . . . . . 9 $/\$
279	162, 276, 278	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . 8 $/\$
280	10	relogcld 24369	. . . . . . . . . 10 $/\$
281	280	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$
282	66, 281	mulcomd 10061	. . . . . . . 8 $/\$
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284	147, 258	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
285	252, 261	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
286	148, 285	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
287	284, 286	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
288	108, 287	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
289	157, 288	fsumrecl 14465	. . . . . . . . 9 $/\$
290	289	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$
291	2, 8	rplogcld 24375	. . . . . . . . 9 $/\$
292	291	rpne0d 11877	. . . . . . . 8 $/\$
293	10	rpne0d 11877	. . . . . . . 8 $/\$
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295	283, 294	eqtr4d 2659	. . . . . 6 $/\$
296	295	oveq2d 6666	. . . . 5 $/\$
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298	297	abscld 14175	. . . . . . . . 9 $/\$
299	298, 280	remulcld 10070	. . . . . . . 8 $/\$
300	108, 284	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
301	157, 300	fsumrecl 14465	. . . . . . . . 9 $/\$
302	301, 291	rerpdivcld 11903	. . . . . . . 8 $/\$
303	299, 302	resubcld 10458	. . . . . . 7 $/\$
304	303	recnd 10068	. . . . . 6 $/\$
305	290, 281, 292	divcld 10801	. . . . . 6 $/\$
306	304, 305, 66, 293	divdird 10839	. . . . 5 $/\$
307	299	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$
308	302	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$
309	307, 308, 305	subsubd 10420	. . . . . . 7 $/\$
310		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
311	269, 270	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
312	109, 311	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
313	157, 310, 312	fsummulc2 14516	. . . . . . . . . . 11 $/\$
314	284	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
315	268, 311	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
316	314, 315	nncand 10397	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
317	316	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
318	287	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
319	109, 314, 318	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
320	109, 268, 311	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
321	317, 319, 320	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
322	321	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . 11 $/\$
323	300	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
324	288	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
325	157, 323, 324	fsumsub 14520	. . . . . . . . . . 11 $/\$
326	313, 322, 325	3eqtr2rd 2663	. . . . . . . . . 10 $/\$
327	326	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 $/\$
328	301	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$
329	328, 290, 281, 292	divsubdird 10840	. . . . . . . . 9 $/\$
330	108, 285	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
331	157, 330	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . 11 $/\$
332	331	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$
333	310, 332, 281, 292	div23d 10838	. . . . . . . . 9 $/\$
334	327, 329, 333	3eqtr3d 2664	. . . . . . . 8 $/\$
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339	338	mpteq2dva 4744	. . 3
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387	5, 291	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
388	10	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16
389	388	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . . . . . 15
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391	390	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
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394		rlimo1 14347	. . . . . . . . . . . . . . 15
395	393, 394	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14
396	379, 387, 392, 395	o1mul2 14355	. . . . . . . . . . . . 13
397	386, 396	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12
398	373, 310, 397	o1dif 14360	. . . . . . . . . . 11
399	372, 398	mpbird 247	. . . . . . . . . 10
400	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
401	2, 280	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
402		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
403	402	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
404	403	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
405		flge1nn 12622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
406	2, 9, 405	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
407	406	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
408		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
409		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
410		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
411		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
412	410, 411	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
413	409, 412	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
414		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
415	414, 132	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
416	413, 81, 415	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
417	408, 416	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
418		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
419	417, 418	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
420	407, 419	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
421	407	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
422	13	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
423	406	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
424	46, 423	logge0d 24376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
425		flle 12600	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
426	2, 425	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
427	407, 10	logled 24373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
428	426, 427	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
429	46, 2, 421, 280, 422, 424, 426, 428	lemul12ad 10966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
430	420, 429	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
431	89, 401, 23, 404, 430	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
432	90, 23, 343	ledivmul2d 11926	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
433	431, 432	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
434	433	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
435	359, 369, 360, 400, 434	ello1d 14254	. . . . . . . . . . 11
436		0red 10041	. . . . . . . . . . . 12
437	46, 421, 422, 424	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
438	437, 420	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
439	23, 89, 404, 438	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
440	90, 343, 439	divge0d 11912	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
441	369, 436, 440	o1lo12 14269	. . . . . . . . . . 11
442	435, 441	mpbird 247	. . . . . . . . . 10
443	368, 369, 399, 442	o1sub2 14356	. . . . . . . . 9
444	367, 443	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8
445	355, 444	o1lo1d 14270	. . . . . . 7
446	21, 355, 363, 445, 41	lo1mul 14358	. . . . . 6
447	47	selbergsb 25264	. . . . . . . 8
448		simpl 473	. . . . . . . . . 10 $/\$
449		simpr 477	. . . . . . . . . 10 $/\$
450	47, 18, 448, 449	pntrlog2bndlem3 25268	. . . . . . . . 9 $/\$
451	450	rexlimiva 3028	. . . . . . . 8
452	447, 451	mp1i 13	. . . . . . 7
453	357, 452	o1lo1d 14270	. . . . . 6
454	356, 357, 446, 453	lo1add 14357	. . . . 5
455	354, 454	eqeltrd 2701	. . . 4
456	340, 344, 346, 455	lo1add 14357	. . 3
457	339, 456	eqeltrrd 2702	. 2
458	457	trud 1493	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wtru 1484

wcel 1990

wral 2912

wrex 2913

crab 2916

wss 3574

c0 3915

cif 4086 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cpnf 10071

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cioo 12175

cico 12177

cfz 12326 ..^cfzo 12465

cfl 12591

cabs 13974

crli 14216

co1 14217

clo1 14218

csu 14416

cdvds 14983

clog 24301 Λcvma 24818 ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-o1 14221 df-lo1 14222 df-sum 14417 df-ef 14798 df-e 14799 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-pc 15542 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-cmp 21190 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303 df-cxp 24304 df-em 24719 df-cht 24823 df-vma 24824 df-chp 24825 df-ppi 24826 df-mu 24827

This theorem is referenced by: pntrlog2bndlem5 25270

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