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Theorem mzpindd 37309
Description: "Structural" induction to prove properties of all polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mzpindd.co |- ( ( ph /\ f e. ZZ ) -> ch )
mzpindd.pr |- ( ( ph /\ f e. V ) -> th )
mzpindd.ad |- ( ( ph /\ ( f : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ta ) /\ ( g : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ et ) ) -> ze )
mzpindd.mu |- ( ( ph /\ ( f : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ta ) /\ ( g : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ et ) ) -> si )
mzpindd.1 |- ( x = ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) -> ( ps <-> ch ) )
mzpindd.2 |- ( x = ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) -> ( ps <-> th ) )
mzpindd.3 |- ( x = f -> ( ps <-> ta ) )
mzpindd.4 |- ( x = g -> ( ps <-> et ) )
mzpindd.5 |- ( x = ( f oF + g ) -> ( ps <-> ze ) )
mzpindd.6 |- ( x = ( f oF x. g ) -> ( ps <-> si ) )
mzpindd.7 |- ( x = A -> ( ps <-> rh ) )
Assertion
Ref Expression
mzpindd |- ( ( ph /\ A e. (mzPoly ` V ) ) -> rh )
Distinct variable groups:   ph, x, f, g   ps, f, g   ch, x   th, x   ta, x   et, x   ze, x   si, x   rh, x   x, V, f, g   x, A
Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( f, g)   th( f, g)   ta( f, g)   et( f, g)   ze( f, g)   si( f, g)   rh( f, g)   A( f, g)
Proof of Theorem mzpindd
Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6221 . . . 4 |- ( A e. (mzPoly ` V ) -> V e. _V )
21adantl 482 . . 3 |- ( ( ph /\ A e. (mzPoly ` V ) ) -> V e. _V )
3 mzpval 37295 . . . . . . 7 |- ( V e. _V -> (mzPoly ` V ) = |^| (mzPolyCld ` V ) )
43adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ V e. _V ) -> (mzPoly ` V ) = |^| (mzPolyCld ` V ) )
5 ssrab2 3687 . . . . . . . . . 10 |- { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } C_ ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) )
65a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ V e. _V ) -> { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } C_ ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) )
7 ovex 6678 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ZZ ^m V ) e. _V
8 zex 11386 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ZZ e. _V
97, 8constmap 37276 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. ZZ -> ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) )
109adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. ZZ ) -> ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) )
11 mzpindd.co . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. ZZ ) -> ch )
12 mzpindd.1 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) -> ( ps <-> ch ) )
1312elrab 3363 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } <-> ( ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ch ) )
1410, 11, 13sylanbrc 698 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. ZZ ) -> ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } )
1514ralrimiva 2966 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. f e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } )
1615adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ V e. _V ) -> A. f e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } )
178a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ V e. _V ) /\ f e. V ) /\ g e. ( ZZ ^m V ) ) -> ZZ e. _V )
18 simpllr 799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ V e. _V ) /\ f e. V ) /\ g e. ( ZZ ^m V ) ) -> V e. _V )
19 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ V e. _V ) /\ f e. V ) /\ g e. ( ZZ ^m V ) ) -> g e. ( ZZ ^m V ) )
20 elmapg 7870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ZZ e. _V /\ V e. _V ) -> ( g e. ( ZZ ^m V ) <-> g : V --> ZZ ) )
2120biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ZZ e. _V /\ V e. _V ) /\ g e. ( ZZ ^m V ) ) -> g : V --> ZZ )
2217, 18, 19, 21syl21anc 1325 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ V e. _V ) /\ f e. V ) /\ g e. ( ZZ ^m V ) ) -> g : V --> ZZ )
23 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ V e. _V ) /\ f e. V ) /\ g e. ( ZZ ^m V ) ) -> f e. V )
2422, 23ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ V e. _V ) /\ f e. V ) /\ g e. ( ZZ ^m V ) ) -> ( g ` f ) e. ZZ )
25 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) = ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) )
2624, 25fmptd 6385 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ V e. _V ) /\ f e. V ) -> ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
278, 7elmap 7886 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) <-> ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
2826, 27sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ V e. _V ) /\ f e. V ) -> ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) )
29 mzpindd.pr . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. V ) -> th )
3029adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ V e. _V ) /\ f e. V ) -> th )
31 mzpindd.2 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) -> ( ps <-> th ) )
3231elrab 3363 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } <-> ( ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ th ) )
3328, 30, 32sylanbrc 698 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ V e. _V ) /\ f e. V ) -> ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } )
3433ralrimiva 2966 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ V e. _V ) -> A. f e. V ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } )
3516, 34jca 554 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ V e. _V ) -> ( A. f e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } /\ A. f e. V ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } ) )
36 zaddcl 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( a + b ) e. ZZ )
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( f : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ g : ( ZZ ^m V ) --> ZZ ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( a + b ) e. ZZ )
38 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ g : ( ZZ ^m V ) --> ZZ ) -> f : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
39 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ g : ( ZZ ^m V ) --> ZZ ) -> g : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
407a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ g : ( ZZ ^m V ) --> ZZ ) -> ( ZZ ^m V ) e. _V )
41 inidm 3822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ZZ ^m V ) i^i ( ZZ ^m V ) ) = ( ZZ ^m V )
4237, 38, 39, 40, 40, 41off 6912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ g : ( ZZ ^m V ) --> ZZ ) -> ( f oF + g ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
4342ad2ant2r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ta ) /\ ( g : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ et ) ) -> ( f oF + g ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
4443adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( f : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ta ) /\ ( g : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ et ) ) ) -> ( f oF + g ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
45 mzpindd.ad . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( f : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ta ) /\ ( g : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ et ) ) -> ze )
46453expb 1266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( f : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ta ) /\ ( g : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ et ) ) ) -> ze )
4744, 46jca 554 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( f : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ta ) /\ ( g : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ et ) ) ) -> ( ( f oF + g ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ze ) )
48 zmulcl 11426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( a x. b ) e. ZZ )
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ g : ( ZZ ^m V ) --> ZZ ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( a x. b ) e. ZZ )
5049, 38, 39, 40, 40, 41off 6912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ g : ( ZZ ^m V ) --> ZZ ) -> ( f oF x. g ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
5150ad2ant2r 783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ta ) /\ ( g : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ et ) ) -> ( f oF x. g ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
5251adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( f : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ta ) /\ ( g : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ et ) ) ) -> ( f oF x. g ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
53 mzpindd.mu . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( f : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ta ) /\ ( g : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ et ) ) -> si )
54533expb 1266 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( f : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ta ) /\ ( g : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ et ) ) ) -> si )
5547, 52, 54jca32 558 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( f : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ta ) /\ ( g : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ et ) ) ) -> ( ( ( f oF + g ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ze ) /\ ( ( f oF x. g ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ si ) ) )
5655ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( f : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ta ) /\ ( g : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ et ) ) -> ( ( ( f oF + g ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ze ) /\ ( ( f oF x. g ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ si ) ) ) )
578, 7elmap 7886 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) <-> f : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
5857anbi1i 731 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ta ) <-> ( f : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ta ) )
598, 7elmap 7886 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) <-> g : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
6059anbi1i 731 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ et ) <-> ( g : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ et ) )
6158, 60anbi12i 733 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ta ) /\ ( g e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ et ) ) <-> ( ( f : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ta ) /\ ( g : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ et ) ) )
628, 7elmap 7886 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f oF + g ) e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) <-> ( f oF + g ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
6362anbi1i 731 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f oF + g ) e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ze ) <-> ( ( f oF + g ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ze ) )
648, 7elmap 7886 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f oF x. g ) e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) <-> ( f oF x. g ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
6564anbi1i 731 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f oF x. g ) e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ si ) <-> ( ( f oF x. g ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ si ) )
6663, 65anbi12i 733 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f oF + g ) e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ze ) /\ ( ( f oF x. g ) e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ si ) ) <-> ( ( ( f oF + g ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ze ) /\ ( ( f oF x. g ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ si ) ) )
6756, 61, 663imtr4g 285 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( f e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ta ) /\ ( g e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ et ) ) -> ( ( ( f oF + g ) e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ze ) /\ ( ( f oF x. g ) e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ si ) ) ) )
68 mzpindd.3 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = f -> ( ps <-> ta ) )
6968elrab 3363 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } <-> ( f e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ta ) )
70 mzpindd.4 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = g -> ( ps <-> et ) )
7170elrab 3363 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } <-> ( g e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ et ) )
7269, 71anbi12i 733 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } /\ g e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } ) <-> ( ( f e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ta ) /\ ( g e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ et ) ) )
73 mzpindd.5 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( f oF + g ) -> ( ps <-> ze ) )
7473elrab 3363 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f oF + g ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } <-> ( ( f oF + g ) e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ze ) )
75 mzpindd.6 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( f oF x. g ) -> ( ps <-> si ) )
7675elrab 3363 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f oF x. g ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } <-> ( ( f oF x. g ) e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ si ) )
7774, 76anbi12i 733 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f oF + g ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } /\ ( f oF x. g ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } ) <-> ( ( ( f oF + g ) e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ze ) /\ ( ( f oF x. g ) e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ si ) ) )
7867, 72, 773imtr4g 285 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( f e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } /\ g e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } ) -> ( ( f oF + g ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } /\ ( f oF x. g ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } ) ) )
7978ralrimivv 2970 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. f e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } A. g e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } ( ( f oF + g ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } /\ ( f oF x. g ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } ) )
8079adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ V e. _V ) -> A. f e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } A. g e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } ( ( f oF + g ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } /\ ( f oF x. g ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } ) )
816, 35, 80jca32 558 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ V e. _V ) -> ( { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } C_ ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ( ( A. f e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } /\ A. f e. V ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } ) /\ A. f e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } A. g e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } ( ( f oF + g ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } /\ ( f oF x. g ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } ) ) ) )
82 elmzpcl 37289 . . . . . . . . 9 |- ( V e. _V -> ( { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } e. (mzPolyCld ` V ) <-> ( { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } C_ ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ( ( A. f e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } /\ A. f e. V ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } ) /\ A. f e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } A. g e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } ( ( f oF + g ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } /\ ( f oF x. g ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } ) ) ) ) )
8382adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ V e. _V ) -> ( { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } e. (mzPolyCld ` V ) <-> ( { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } C_ ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ( ( A. f e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } /\ A. f e. V ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } ) /\ A. f e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } A. g e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } ( ( f oF + g ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } /\ ( f oF x. g ) e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } ) ) ) ) )
8481, 83mpbird 247 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ V e. _V ) -> { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } e. (mzPolyCld ` V ) )
85 intss1 4492 . . . . . . 7 |- ( { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } e. (mzPolyCld ` V ) -> |^| (mzPolyCld ` V ) C_ { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } )
8684, 85syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ V e. _V ) -> |^| (mzPolyCld ` V ) C_ { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } )
874, 86eqsstrd 3639 . . . . 5 |- ( ( ph /\ V e. _V ) -> (mzPoly ` V ) C_ { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } )
8887sselda 3603 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ V e. _V ) /\ A e. (mzPoly ` V ) ) -> A e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } )
8988an32s 846 . . 3 |- ( ( ( ph /\ A e. (mzPoly ` V ) ) /\ V e. _V ) -> A e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } )
902, 89mpdan 702 . 2 |- ( ( ph /\ A e. (mzPoly ` V ) ) -> A e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } )
91 mzpindd.7 . . . 4 |- ( x = A -> ( ps <-> rh ) )
9291elrab 3363 . . 3 |- ( A e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } <-> ( A e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ rh ) )
9392simprbi 480 . 2 |- ( A e. { x e. ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ps } -> rh )
9490, 93syl 17 1 |- ( ( ph /\ A e. (mzPoly ` V ) ) -> rh )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   |^|cint 4475   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   + caddc 9939   x. cmul 9941   ZZcz 11377  mzPolyCldcmzpcl 37284  mzPolycmzp 37285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-mzpcl 37286  df-mzp 37287
This theorem is referenced by:  mzpmfp  37310  mzpsubst  37311  mzpcompact2lem  37314  mzpcong  37539
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