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Theorem elo12 14258
Description: Elementhood in the set of eventually bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elo12 |- ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) -> ( F e. O(1) <-> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. A ( x <_ y -> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m ) ) )
Distinct variable groups:   x, m, y, A   m, F, x, y
Proof of Theorem elo12
StepHypRef Expression
1 cnex 10017 . . . 4 |- CC e. _V
2 reex 10027 . . . 4 |- RR e. _V
3 elpm2r 7875 . . . 4 |- ( ( ( CC e. _V /\ RR e. _V ) /\ ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) ) -> F e. ( CC ^pm RR ) )
41, 2, 3mpanl12 718 . . 3 |- ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) -> F e. ( CC ^pm RR ) )
5 elo1 14257 . . . 4 |- ( F e. O(1) <-> ( F e. ( CC ^pm RR ) /\ E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m ) )
65baib 944 . . 3 |- ( F e. ( CC ^pm RR ) -> ( F e. O(1) <-> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m ) )
74, 6syl 17 . 2 |- ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) -> ( F e. O(1) <-> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m ) )
8 elin 3796 . . . . . . . 8 |- ( y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) <-> ( y e. dom F /\ y e. ( x [,) +oo ) ) )
9 fdm 6051 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> dom F = A )
109ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) -> dom F = A )
1110eleq2d 2687 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) -> ( y e. dom F <-> y e. A ) )
1211anbi1d 741 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) -> ( ( y e. dom F /\ y e. ( x [,) +oo ) ) <-> ( y e. A /\ y e. ( x [,) +oo ) ) ) )
13 simpllr 799 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) /\ y e. A ) -> x e. RR )
14 elicopnf 12269 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( y e. ( x [,) +oo ) <-> ( y e. RR /\ x <_ y ) ) )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) /\ y e. A ) -> ( y e. ( x [,) +oo ) <-> ( y e. RR /\ x <_ y ) ) )
16 simpllr 799 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) -> A C_ RR )
1716sselda 3603 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) /\ y e. A ) -> y e. RR )
1817biantrurd 529 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) /\ y e. A ) -> ( x <_ y <-> ( y e. RR /\ x <_ y ) ) )
1915, 18bitr4d 271 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) /\ y e. A ) -> ( y e. ( x [,) +oo ) <-> x <_ y ) )
2019pm5.32da 673 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) -> ( ( y e. A /\ y e. ( x [,) +oo ) ) <-> ( y e. A /\ x <_ y ) ) )
2112, 20bitrd 268 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) -> ( ( y e. dom F /\ y e. ( x [,) +oo ) ) <-> ( y e. A /\ x <_ y ) ) )
228, 21syl5bb 272 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) -> ( y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) <-> ( y e. A /\ x <_ y ) ) )
2322imbi1d 331 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) -> ( ( y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) -> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m ) <-> ( ( y e. A /\ x <_ y ) -> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m ) ) )
24 impexp 462 . . . . . 6 |- ( ( ( y e. A /\ x <_ y ) -> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m ) <-> ( y e. A -> ( x <_ y -> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m ) ) )
2523, 24syl6bb 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) -> ( ( y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) -> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m ) <-> ( y e. A -> ( x <_ y -> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m ) ) ) )
2625ralbidv2 2984 . . . 4 |- ( ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ x e. RR ) /\ m e. RR ) -> ( A. y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m <-> A. y e. A ( x <_ y -> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m ) ) )
2726rexbidva 3049 . . 3 |- ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ x e. RR ) -> ( E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m <-> E. m e. RR A. y e. A ( x <_ y -> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m ) ) )
2827rexbidva 3049 . 2 |- ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) -> ( E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m <-> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. A ( x <_ y -> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m ) ) )
297, 28bitrd 268 1 |- ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) -> ( F e. O(1) <-> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. A ( x <_ y -> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   RRcr 9935   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   [,)cico 12177   abscabs 13974   O(1)co1 14217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181  df-o1 14221
This theorem is referenced by:  elo12r  14259  o1bdd  14262  lo1o1  14263  o1co  14317  rlimo1  14347
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