MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1o1 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem lo1o1 14263
Description: A function is eventually bounded iff its absolute value is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lo1o1 |- ( F : A --> CC -> ( F e. O(1) <-> ( abs o. F ) e. <_O(1) ) )
Proof of Theorem lo1o1
Dummy variables x m y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1dm 14261 . . 3 |- ( F e. O(1) -> dom F C_ RR )
2 fdm 6051 . . . 4 |- ( F : A --> CC -> dom F = A )
32sseq1d 3632 . . 3 |- ( F : A --> CC -> ( dom F C_ RR <-> A C_ RR ) )
41, 3syl5ib 234 . 2 |- ( F : A --> CC -> ( F e. O(1) -> A C_ RR ) )
5 lo1dm 14250 . . 3 |- ( ( abs o. F ) e. <_O(1) -> dom ( abs o. F ) C_ RR )
6 absf 14077 . . . . . 6 |- abs : CC --> RR
7 fco 6058 . . . . . 6 |- ( ( abs : CC --> RR /\ F : A --> CC ) -> ( abs o. F ) : A --> RR )
86, 7mpan 706 . . . . 5 |- ( F : A --> CC -> ( abs o. F ) : A --> RR )
9 fdm 6051 . . . . 5 |- ( ( abs o. F ) : A --> RR -> dom ( abs o. F ) = A )
108, 9syl 17 . . . 4 |- ( F : A --> CC -> dom ( abs o. F ) = A )
1110sseq1d 3632 . . 3 |- ( F : A --> CC -> ( dom ( abs o. F ) C_ RR <-> A C_ RR ) )
125, 11syl5ib 234 . 2 |- ( F : A --> CC -> ( ( abs o. F ) e. <_O(1) -> A C_ RR ) )
13 fvco3 6275 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : A --> CC /\ y e. A ) -> ( ( abs o. F ) ` y ) = ( abs ` ( F ` y ) ) )
1413adantlr 751 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ y e. A ) -> ( ( abs o. F ) ` y ) = ( abs ` ( F ` y ) ) )
1514breq1d 4663 . . . . . . 7 |- ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ y e. A ) -> ( ( ( abs o. F ) ` y ) <_ m <-> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m ) )
1615imbi2d 330 . . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ y e. A ) -> ( ( x <_ y -> ( ( abs o. F ) ` y ) <_ m ) <-> ( x <_ y -> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m ) ) )
1716ralbidva 2985 . . . . 5 |- ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) -> ( A. y e. A ( x <_ y -> ( ( abs o. F ) ` y ) <_ m ) <-> A. y e. A ( x <_ y -> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m ) ) )
18172rexbidv 3057 . . . 4 |- ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) -> ( E. x e. RR E. m e. RR A. y e. A ( x <_ y -> ( ( abs o. F ) ` y ) <_ m ) <-> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. A ( x <_ y -> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m ) ) )
19 ello12 14247 . . . . 5 |- ( ( ( abs o. F ) : A --> RR /\ A C_ RR ) -> ( ( abs o. F ) e. <_O(1) <-> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. A ( x <_ y -> ( ( abs o. F ) ` y ) <_ m ) ) )
208, 19sylan 488 . . . 4 |- ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) -> ( ( abs o. F ) e. <_O(1) <-> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. A ( x <_ y -> ( ( abs o. F ) ` y ) <_ m ) ) )
21 elo12 14258 . . . 4 |- ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) -> ( F e. O(1) <-> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. A ( x <_ y -> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m ) ) )
2218, 20, 213bitr4rd 301 . . 3 |- ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) -> ( F e. O(1) <-> ( abs o. F ) e. <_O(1) ) )
2322ex 450 . 2 |- ( F : A --> CC -> ( A C_ RR -> ( F e. O(1) <-> ( abs o. F ) e. <_O(1) ) ) )
244, 12, 23pm5.21ndd 369 1 |- ( F : A --> CC -> ( F e. O(1) <-> ( abs o. F ) e. <_O(1) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888   CCcc 9934   RRcr 9935   <_ cle 10075   abscabs 13974   O(1)co1 14217   <_O(1)clo1 14218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-o1 14221  df-lo1 14222
This theorem is referenced by:  lo1o12  14264  o1res  14291
  Copyright terms: Public domain W3C validator