Theorem ptpjpre2 21383

Description: The basis for a product topology is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptbas.1	|- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
ptbasfi.2	|- X = X_ n e. A U. ( F ` n )

Assertion

Ref	Expression
ptpjpre2	|- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` I ) ) " U ) e. B )

Distinct variable groups:   B, n   w, g, x, y, n, I   z, g, A, n, w, x, y   U, g, n, w, x, y   g, F, n, w, x, y, z   g, X, w, x, z   g, V, n, w, x, y, z

Allowed substitution hints:   B( x, y, z, w, g)   U( z)   I( z)   X( y, n)

Proof of Theorem ptpjpre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptbasfi.2	. . 3 |- X = X_ n e. A U. ( F ` n )
2	1	ptpjpre1 21374	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` I ) ) " U ) = X_ n e. A if ( n = I , U , U. ( F ` n ) ) )
3		ptbas.1	. . 3 |- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
4		simpll 790	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> A e. V )
5		snfi 8038	. . . 4 |- { I } e. Fin
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> { I } e. Fin )
7		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> U e. ( F ` I ) )
8	7	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) /\ n e. A ) /\ n = I ) -> U e. ( F ` I ) )
9		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) /\ n e. A ) /\ n = I ) -> n = I )
10	9	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) /\ n e. A ) /\ n = I ) -> ( F ` n ) = ( F ` I ) )
11	8, 10	eleqtrrd 2704	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) /\ n e. A ) /\ n = I ) -> U e. ( F ` n ) )
12		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> F : A --> Top )
13	12	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) /\ n e. A ) -> ( F ` n ) e. Top )
14		eqid 2622	. . . . . . 7 |- U. ( F ` n ) = U. ( F ` n )
15	14	topopn 20711	. . . . . 6 |- ( ( F ` n ) e. Top -> U. ( F ` n ) e. ( F ` n ) )
16	13, 15	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) /\ n e. A ) -> U. ( F ` n ) e. ( F ` n ) )
17	16	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) /\ n e. A ) /\ -. n = I ) -> U. ( F ` n ) e. ( F ` n ) )
18	11, 17	ifclda 4120	. . 3 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) /\ n e. A ) -> if ( n = I , U , U. ( F ` n ) ) e. ( F ` n ) )
19		eldifsni 4320	. . . . . 6 |- ( n e. ( A \ { I } ) -> n =/= I )
20	19	neneqd 2799	. . . . 5 |- ( n e. ( A \ { I } ) -> -. n = I )
21	20	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) /\ n e. ( A \ { I } ) ) -> -. n = I )
22	21	iffalsed 4097	. . 3 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) /\ n e. ( A \ { I } ) ) -> if ( n = I , U , U. ( F ` n ) ) = U. ( F ` n ) )
23	3, 4, 6, 18, 22	elptr2 21377	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> X_ n e. A if ( n = I , U , U. ( F ` n ) ) e. B )
24	2, 23	eqeltrd 2701	1 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` I ) ) " U ) e. B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   ifcif 4086   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   X_cixp 7908   Fincfn 7955   Topctop 20698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-ixp 7909  df-en 7956  df-fin 7959  df-top 20699

This theorem is referenced by:  ptbasfi  21384  ptpjcn  21414