Theorem eltg2b 20763

Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg2b	|- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, V, y

Proof of Theorem eltg2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltg2 20762	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
2		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( x e. y /\ y C_ A ) -> x e. y )
3	2	reximi 3011	. . . . . 6 |- ( E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) -> E. y e. B x e. y )
4		eluni2 4440	. . . . . 6 |- ( x e. U. B <-> E. y e. B x e. y )
5	3, 4	sylibr 224	. . . . 5 |- ( E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) -> x e. U. B )
6	5	ralimi 2952	. . . 4 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) -> A. x e. A x e. U. B )
7		dfss3 3592	. . . 4 |- ( A C_ U. B <-> A. x e. A x e. U. B )
8	6, 7	sylibr 224	. . 3 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) -> A C_ U. B )
9	8	pm4.71ri 665	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) )
10	1, 9	syl6bbr 278	1 |- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   U.cuni 4436   ` cfv 5888   topGenctg 16098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topgen 16104

This theorem is referenced by:  tg2  20769  tgcl  20773  eltop2  20779  tgss2  20791  basgen2  20793  2ndc1stc  21254  eltx  21371  tgqioo  22603  isfne2  32337