Theorem extmptsuppeq 7319

Description: The support of an extended function is the same as the original. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
extmptsuppeq.b	|- ( ph -> B e. W )
extmptsuppeq.a	|- ( ph -> A C_ B )
extmptsuppeq.z	|- ( ( ph /\ n e. ( B \ A ) ) -> X = Z )

Assertion

Ref	Expression
extmptsuppeq	|- ( ph -> ( ( n e. A |-> X ) supp Z ) = ( ( n e. B |-> X ) supp Z ) )

Distinct variable groups:   A, n   B, n   n, Z   ph, n

Allowed substitution hints:   W( n)   X( n)

Proof of Theorem extmptsuppeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extmptsuppeq.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ B )
2	1	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( Z e. _V /\ ph ) -> A C_ B )
3	2	sseld 3602	. . . . . . 7 |- ( ( Z e. _V /\ ph ) -> ( n e. A -> n e. B ) )
4	3	anim1d 588	. . . . . 6 |- ( ( Z e. _V /\ ph ) -> ( ( n e. A /\ X e. ( _V \ { Z } ) ) -> ( n e. B /\ X e. ( _V \ { Z } ) ) ) )
5		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( B \ A ) <-> ( n e. B /\ -. n e. A ) )
6		extmptsuppeq.z	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( B \ A ) ) -> X = Z )
7	6	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Z e. _V /\ ph ) /\ n e. ( B \ A ) ) -> X = Z )
8	5, 7	sylan2br 493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Z e. _V /\ ph ) /\ ( n e. B /\ -. n e. A ) ) -> X = Z )
9	8	expr 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Z e. _V /\ ph ) /\ n e. B ) -> ( -. n e. A -> X = Z ) )
10		elsn2g 4210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Z e. _V -> ( X e. { Z } <-> X = Z ) )
11		elndif 3734	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. { Z } -> -. X e. ( _V \ { Z } ) )
12	10, 11	syl6bir 244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Z e. _V -> ( X = Z -> -. X e. ( _V \ { Z } ) ) )
13	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Z e. _V /\ ph ) /\ n e. B ) -> ( X = Z -> -. X e. ( _V \ { Z } ) ) )
14	9, 13	syld 47	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Z e. _V /\ ph ) /\ n e. B ) -> ( -. n e. A -> -. X e. ( _V \ { Z } ) ) )
15	14	con4d 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Z e. _V /\ ph ) /\ n e. B ) -> ( X e. ( _V \ { Z } ) -> n e. A ) )
16	15	impr 649	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Z e. _V /\ ph ) /\ ( n e. B /\ X e. ( _V \ { Z } ) ) ) -> n e. A )
17		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Z e. _V /\ ph ) /\ ( n e. B /\ X e. ( _V \ { Z } ) ) ) -> X e. ( _V \ { Z } ) )
18	16, 17	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ( Z e. _V /\ ph ) /\ ( n e. B /\ X e. ( _V \ { Z } ) ) ) -> ( n e. A /\ X e. ( _V \ { Z } ) ) )
19	18	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( Z e. _V /\ ph ) -> ( ( n e. B /\ X e. ( _V \ { Z } ) ) -> ( n e. A /\ X e. ( _V \ { Z } ) ) ) )
20	4, 19	impbid 202	. . . . 5 |- ( ( Z e. _V /\ ph ) -> ( ( n e. A /\ X e. ( _V \ { Z } ) ) <-> ( n e. B /\ X e. ( _V \ { Z } ) ) ) )
21	20	rabbidva2 3186	. . . 4 |- ( ( Z e. _V /\ ph ) -> { n e. A | X e. ( _V \ { Z } ) } = { n e. B | X e. ( _V \ { Z } ) } )
22		eqid 2622	. . . . 5 |- ( n e. A |-> X ) = ( n e. A |-> X )
23		extmptsuppeq.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. W )
24	23, 1	ssexd 4805	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. _V )
25	24	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( Z e. _V /\ ph ) -> A e. _V )
26		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( Z e. _V /\ ph ) -> Z e. _V )
27	22, 25, 26	mptsuppdifd 7317	. . . 4 |- ( ( Z e. _V /\ ph ) -> ( ( n e. A |-> X ) supp Z ) = { n e. A | X e. ( _V \ { Z } ) } )
28		eqid 2622	. . . . 5 |- ( n e. B |-> X ) = ( n e. B |-> X )
29	23	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( Z e. _V /\ ph ) -> B e. W )
30	28, 29, 26	mptsuppdifd 7317	. . . 4 |- ( ( Z e. _V /\ ph ) -> ( ( n e. B |-> X ) supp Z ) = { n e. B | X e. ( _V \ { Z } ) } )
31	21, 27, 30	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( Z e. _V /\ ph ) -> ( ( n e. A |-> X ) supp Z ) = ( ( n e. B |-> X ) supp Z ) )
32	31	ex 450	. 2 |- ( Z e. _V -> ( ph -> ( ( n e. A |-> X ) supp Z ) = ( ( n e. B |-> X ) supp Z ) ) )
33		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( n e. A |-> X ) e. _V /\ Z e. _V ) -> Z e. _V )
34	33	con3i 150	. . . . 5 |- ( -. Z e. _V -> -. ( ( n e. A |-> X ) e. _V /\ Z e. _V ) )
35		supp0prc 7298	. . . . 5 |- ( -. ( ( n e. A |-> X ) e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ( n e. A |-> X ) supp Z ) = (/) )
36	34, 35	syl 17	. . . 4 |- ( -. Z e. _V -> ( ( n e. A |-> X ) supp Z ) = (/) )
37		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( n e. B |-> X ) e. _V /\ Z e. _V ) -> Z e. _V )
38	37	con3i 150	. . . . 5 |- ( -. Z e. _V -> -. ( ( n e. B |-> X ) e. _V /\ Z e. _V ) )
39		supp0prc 7298	. . . . 5 |- ( -. ( ( n e. B |-> X ) e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ( n e. B |-> X ) supp Z ) = (/) )
40	38, 39	syl 17	. . . 4 |- ( -. Z e. _V -> ( ( n e. B |-> X ) supp Z ) = (/) )
41	36, 40	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( -. Z e. _V -> ( ( n e. A |-> X ) supp Z ) = ( ( n e. B |-> X ) supp Z ) )
42	41	a1d 25	. 2 |- ( -. Z e. _V -> ( ph -> ( ( n e. A |-> X ) supp Z ) = ( ( n e. B |-> X ) supp Z ) ) )
43	32, 42	pm2.61i 176	1 |- ( ph -> ( ( n e. A |-> X ) supp Z ) = ( ( n e. B |-> X ) supp Z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729  (class class class)co 6650   supp csupp 7295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-supp 7296

This theorem is referenced by:  cantnfrescl  8573  cantnfres  8574