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Theorem cantnfres 8574
Description: The CNF function respects extensions of the domain to a larger ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s |- S = dom ( A CNF B )
cantnfs.a |- ( ph -> A e. On )
cantnfs.b |- ( ph -> B e. On )
cantnfrescl.d |- ( ph -> D e. On )
cantnfrescl.b |- ( ph -> B C_ D )
cantnfrescl.x |- ( ( ph /\ n e. ( D \ B ) ) -> X = (/) )
cantnfrescl.a |- ( ph -> (/) e. A )
cantnfrescl.t |- T = dom ( A CNF D )
cantnfres.m |- ( ph -> ( n e. B |-> X ) e. S )
Assertion
Ref Expression
cantnfres |- ( ph -> ( ( A CNF B ) ` ( n e. B |-> X ) ) = ( ( A CNF D ) ` ( n e. D |-> X ) ) )
Distinct variable groups:   B, n   D, n   A, n   ph, n
Allowed substitution hints:   S( n)   T( n)   X( n)
Proof of Theorem cantnfres
Dummy variables k z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfrescl.d . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D e. On )
2 cantnfrescl.b . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B C_ D )
3 cantnfrescl.x . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( D \ B ) ) -> X = (/) )
41, 2, 3extmptsuppeq 7319 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) = ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) )
5 oieq2 8418 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) = ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) -> OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) = OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) )
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) = OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) )
76fveq1d 6193 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) = (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) )
873ad2ant1 1082 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) /\ z e. On ) -> (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) = (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) )
98oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) /\ z e. On ) -> ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) = ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) )
10 suppssdm 7308 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) C_ dom ( n e. B |-> X )
11 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. B |-> X ) = ( n e. B |-> X )
1211dmmptss 5631 . . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( n e. B |-> X ) C_ B
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> dom ( n e. B |-> X ) C_ B )
1410, 13syl5ss 3614 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) C_ B )
15143ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) /\ z e. On ) -> ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) C_ B )
16 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) = OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) )
1716oif 8435 . . . . . . . . . . . . 13 |- OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) : dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) --> ( ( n e. B |-> X ) supp (/) )
1817ffvelrni 6358 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) -> (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) e. ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) )
19183ad2ant2 1083 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) /\ z e. On ) -> (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) e. ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) )
2015, 19sseldd 3604 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) /\ z e. On ) -> (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) e. B )
21 fvres 6207 . . . . . . . . . 10 |- ( (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) e. B -> ( ( ( n e. D |-> X ) |` B ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) = ( ( n e. D |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) )
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) /\ z e. On ) -> ( ( ( n e. D |-> X ) |` B ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) = ( ( n e. D |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) )
2323ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) /\ z e. On ) -> B C_ D )
2423resmptd 5452 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) /\ z e. On ) -> ( ( n e. D |-> X ) |` B ) = ( n e. B |-> X ) )
2524fveq1d 6193 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) /\ z e. On ) -> ( ( ( n e. D |-> X ) |` B ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) = ( ( n e. B |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) )
268fveq2d 6195 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) /\ z e. On ) -> ( ( n e. D |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) = ( ( n e. D |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) )
2722, 25, 263eqtr3d 2664 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) /\ z e. On ) -> ( ( n e. B |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) = ( ( n e. D |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) )
289, 27oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) /\ z e. On ) -> ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. B |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) = ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. D |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) )
2928oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) /\ z e. On ) -> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. B |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) = ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. D |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) )
3029mpt2eq3dva 6719 . . . . 5 |- ( ph -> ( k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) , z e. On |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. B |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) ) = ( k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) , z e. On |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. D |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) ) )
316dmeqd 5326 . . . . . 6 |- ( ph -> dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) = dom OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) )
32 eqid 2622 . . . . . 6 |- On = On
33 mpt2eq12 6715 . . . . . 6 |- ( ( dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) = dom OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) /\ On = On ) -> ( k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) , z e. On |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. D |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) ) = ( k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) , z e. On |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. D |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) ) )
3431, 32, 33sylancl 694 . . . . 5 |- ( ph -> ( k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) , z e. On |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. D |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) ) = ( k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) , z e. On |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. D |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) ) )
3530, 34eqtrd 2656 . . . 4 |- ( ph -> ( k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) , z e. On |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. B |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) ) = ( k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) , z e. On |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. D |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) ) )
36 eqid 2622 . . . 4 |- (/) = (/)
37 seqomeq12 7549 . . . 4 |- ( ( ( k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) , z e. On |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. B |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) ) = ( k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) , z e. On |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. D |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) ) /\ (/) = (/) ) -> seq𝜔 ( ( k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) , z e. On |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. B |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) = seq𝜔 ( ( k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) , z e. On |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. D |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) )
3835, 36, 37sylancl 694 . . 3 |- ( ph -> seq𝜔 ( ( k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) , z e. On |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. B |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) = seq𝜔 ( ( k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) , z e. On |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. D |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) )
3938, 31fveq12d 6197 . 2 |- ( ph -> (seq𝜔 ( ( k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) , z e. On |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. B |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) , z e. On |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. D |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ) )
40 cantnfs.s . . 3 |- S = dom ( A CNF B )
41 cantnfs.a . . 3 |- ( ph -> A e. On )
42 cantnfs.b . . 3 |- ( ph -> B e. On )
43 cantnfres.m . . 3 |- ( ph -> ( n e. B |-> X ) e. S )
44 eqid 2622 . . 3 |- seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. B |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. B |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) )
4540, 41, 42, 16, 43, 44cantnfval2 8566 . 2 |- ( ph -> ( ( A CNF B ) ` ( n e. B |-> X ) ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) , z e. On |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. B |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom OrdIso ( _E , ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) ) ) )
46 cantnfrescl.t . . 3 |- T = dom ( A CNF D )
47 eqid 2622 . . 3 |- OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) = OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) )
48 cantnfrescl.a . . . . 5 |- ( ph -> (/) e. A )
4940, 41, 42, 1, 2, 3, 48, 46cantnfrescl 8573 . . . 4 |- ( ph -> ( ( n e. B |-> X ) e. S <-> ( n e. D |-> X ) e. T ) )
5043, 49mpbid 222 . . 3 |- ( ph -> ( n e. D |-> X ) e. T )
51 eqid 2622 . . 3 |- seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. D |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. D |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) )
5246, 41, 1, 47, 50, 51cantnfval2 8566 . 2 |- ( ph -> ( ( A CNF D ) ` ( n e. D |-> X ) ) = (seq𝜔 ( ( k e. dom OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) , z e. On |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( ( n e. D |-> X ) ` (OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom OrdIso ( _E , ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) ) ) )
5339, 45, 523eqtr4d 2666 1 |- ( ph -> ( ( A CNF B ) ` ( n e. B |-> X ) ) = ( ( A CNF D ) ` ( n e. D |-> X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   |-> cmpt 4729   _E cep 5028   dom cdm 5114   |` cres 5116   Oncon0 5723   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   supp csupp 7295  seq𝜔cseqom 7542   +o coa 7557   .o comu 7558   ^o coe 7559  OrdIsocoi 8414   CNF ccnf 8558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-cnf 8559
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