Theorem f12dfv 6529

Description: A one-to-one function with a domain with at least two different elements in terms of function values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
f12dfv.a	|- A = { X , Y }

Assertion

Ref	Expression
f12dfv	|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ X =/= Y ) -> ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) ) ) )

Proof of Theorem f12dfv

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff14b 6528	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. ( A \ { x } ) ( F ` x ) =/= ( F ` y ) ) )
2		f12dfv.a	. . . . 5 |- A = { X , Y }
3	2	raleqi 3142	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. ( A \ { x } ) ( F ` x ) =/= ( F ` y ) <-> A. x e. { X , Y } A. y e. ( A \ { x } ) ( F ` x ) =/= ( F ` y ) )
4		sneq 4187	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> { x } = { X } )
5	4	difeq2d 3728	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( A \ { x } ) = ( A \ { X } ) )
6		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( F ` x ) = ( F ` X ) )
7	6	neeq1d 2853	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( ( F ` x ) =/= ( F ` y ) <-> ( F ` X ) =/= ( F ` y ) ) )
8	5, 7	raleqbidv 3152	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( A. y e. ( A \ { x } ) ( F ` x ) =/= ( F ` y ) <-> A. y e. ( A \ { X } ) ( F ` X ) =/= ( F ` y ) ) )
9		sneq 4187	. . . . . . . . 9 |- ( x = Y -> { x } = { Y } )
10	9	difeq2d 3728	. . . . . . . 8 |- ( x = Y -> ( A \ { x } ) = ( A \ { Y } ) )
11		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = Y -> ( F ` x ) = ( F ` Y ) )
12	11	neeq1d 2853	. . . . . . . 8 |- ( x = Y -> ( ( F ` x ) =/= ( F ` y ) <-> ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) ) )
13	10, 12	raleqbidv 3152	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> ( A. y e. ( A \ { x } ) ( F ` x ) =/= ( F ` y ) <-> A. y e. ( A \ { Y } ) ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) ) )
14	8, 13	ralprg 4234	. . . . . 6 |- ( ( X e. U /\ Y e. V ) -> ( A. x e. { X , Y } A. y e. ( A \ { x } ) ( F ` x ) =/= ( F ` y ) <-> ( A. y e. ( A \ { X } ) ( F ` X ) =/= ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ { Y } ) ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) ) ) )
15	14	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ X =/= Y ) -> ( A. x e. { X , Y } A. y e. ( A \ { x } ) ( F ` x ) =/= ( F ` y ) <-> ( A. y e. ( A \ { X } ) ( F ` X ) =/= ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ { Y } ) ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) ) ) )
16	2	difeq1i 3724	. . . . . . . . . . 11 |- ( A \ { X } ) = ( { X , Y } \ { X } )
17		difprsn1 4330	. . . . . . . . . . 11 |- ( X =/= Y -> ( { X , Y } \ { X } ) = { Y } )
18	16, 17	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( X =/= Y -> ( A \ { X } ) = { Y } )
19	18	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ X =/= Y ) -> ( A \ { X } ) = { Y } )
20	19	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ X =/= Y ) -> ( A. y e. ( A \ { X } ) ( F ` X ) =/= ( F ` y ) <-> A. y e. { Y } ( F ` X ) =/= ( F ` y ) ) )
21		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = Y -> ( F ` y ) = ( F ` Y ) )
22	21	neeq2d 2854	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = Y -> ( ( F ` X ) =/= ( F ` y ) <-> ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) ) )
23	22	ralsng 4218	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. V -> ( A. y e. { Y } ( F ` X ) =/= ( F ` y ) <-> ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) ) )
24	23	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. U /\ Y e. V ) -> ( A. y e. { Y } ( F ` X ) =/= ( F ` y ) <-> ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) ) )
25	24	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ X =/= Y ) -> ( A. y e. { Y } ( F ` X ) =/= ( F ` y ) <-> ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) ) )
26	20, 25	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ X =/= Y ) -> ( A. y e. ( A \ { X } ) ( F ` X ) =/= ( F ` y ) <-> ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) ) )
27	2	difeq1i 3724	. . . . . . . . . . 11 |- ( A \ { Y } ) = ( { X , Y } \ { Y } )
28		difprsn2 4331	. . . . . . . . . . 11 |- ( X =/= Y -> ( { X , Y } \ { Y } ) = { X } )
29	27, 28	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( X =/= Y -> ( A \ { Y } ) = { X } )
30	29	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ X =/= Y ) -> ( A \ { Y } ) = { X } )
31	30	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ X =/= Y ) -> ( A. y e. ( A \ { Y } ) ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) <-> A. y e. { X } ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) ) )
32		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = X -> ( F ` y ) = ( F ` X ) )
33	32	neeq2d 2854	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = X -> ( ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) <-> ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) ) )
34	33	ralsng 4218	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. U -> ( A. y e. { X } ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) <-> ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) ) )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. U /\ Y e. V ) -> ( A. y e. { X } ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) <-> ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) ) )
36	35	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ X =/= Y ) -> ( A. y e. { X } ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) <-> ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) ) )
37	31, 36	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ X =/= Y ) -> ( A. y e. ( A \ { Y } ) ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) <-> ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) ) )
38	26, 37	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ X =/= Y ) -> ( ( A. y e. ( A \ { X } ) ( F ` X ) =/= ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ { Y } ) ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) ) <-> ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) ) ) )
39		necom 2847	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) <-> ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) )
40	39	biimpi 206	. . . . . . 7 |- ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) -> ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) )
41	40	pm4.71i 664	. . . . . 6 |- ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) <-> ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) ) )
42	38, 41	syl6bbr 278	. . . . 5 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ X =/= Y ) -> ( ( A. y e. ( A \ { X } ) ( F ` X ) =/= ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ { Y } ) ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) ) <-> ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) ) )
43	15, 42	bitrd 268	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ X =/= Y ) -> ( A. x e. { X , Y } A. y e. ( A \ { x } ) ( F ` x ) =/= ( F ` y ) <-> ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) ) )
44	3, 43	syl5bb 272	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ X =/= Y ) -> ( A. x e. A A. y e. ( A \ { x } ) ( F ` x ) =/= ( F ` y ) <-> ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) ) )
45	44	anbi2d 740	. 2 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ X =/= Y ) -> ( ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. ( A \ { x } ) ( F ` x ) =/= ( F ` y ) ) <-> ( F : A --> B /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) ) ) )
46	1, 45	syl5bb 272	1 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ X =/= Y ) -> ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   {csn 4177   {cpr 4179   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  usgr2trlncl  26656