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Theorem f13dfv 6530
Description: A one-to-one function with a domain with at least three different elements in terms of function values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
f13dfv.a |- A = { X , Y , Z }
Assertion
Ref Expression
f13dfv |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) ) ) )
Proof of Theorem f13dfv
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dff14b 6528 . 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. ( A \ { x } ) ( F ` x ) =/= ( F ` y ) ) )
2 f13dfv.a . . . . 5 |- A = { X , Y , Z }
32raleqi 3142 . . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. ( A \ { x } ) ( F ` x ) =/= ( F ` y ) <-> A. x e. { X , Y , Z } A. y e. ( A \ { x } ) ( F ` x ) =/= ( F ` y ) )
4 sneq 4187 . . . . . . . . 9 |- ( x = X -> { x } = { X } )
54difeq2d 3728 . . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( A \ { x } ) = ( A \ { X } ) )
6 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( F ` x ) = ( F ` X ) )
76neeq1d 2853 . . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( ( F ` x ) =/= ( F ` y ) <-> ( F ` X ) =/= ( F ` y ) ) )
85, 7raleqbidv 3152 . . . . . . 7 |- ( x = X -> ( A. y e. ( A \ { x } ) ( F ` x ) =/= ( F ` y ) <-> A. y e. ( A \ { X } ) ( F ` X ) =/= ( F ` y ) ) )
9 sneq 4187 . . . . . . . . 9 |- ( x = Y -> { x } = { Y } )
109difeq2d 3728 . . . . . . . 8 |- ( x = Y -> ( A \ { x } ) = ( A \ { Y } ) )
11 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( x = Y -> ( F ` x ) = ( F ` Y ) )
1211neeq1d 2853 . . . . . . . 8 |- ( x = Y -> ( ( F ` x ) =/= ( F ` y ) <-> ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) ) )
1310, 12raleqbidv 3152 . . . . . . 7 |- ( x = Y -> ( A. y e. ( A \ { x } ) ( F ` x ) =/= ( F ` y ) <-> A. y e. ( A \ { Y } ) ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) ) )
14 sneq 4187 . . . . . . . . 9 |- ( x = Z -> { x } = { Z } )
1514difeq2d 3728 . . . . . . . 8 |- ( x = Z -> ( A \ { x } ) = ( A \ { Z } ) )
16 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( x = Z -> ( F ` x ) = ( F ` Z ) )
1716neeq1d 2853 . . . . . . . 8 |- ( x = Z -> ( ( F ` x ) =/= ( F ` y ) <-> ( F ` Z ) =/= ( F ` y ) ) )
1815, 17raleqbidv 3152 . . . . . . 7 |- ( x = Z -> ( A. y e. ( A \ { x } ) ( F ` x ) =/= ( F ` y ) <-> A. y e. ( A \ { Z } ) ( F ` Z ) =/= ( F ` y ) ) )
198, 13, 18raltpg 4236 . . . . . 6 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) -> ( A. x e. { X , Y , Z } A. y e. ( A \ { x } ) ( F ` x ) =/= ( F ` y ) <-> ( A. y e. ( A \ { X } ) ( F ` X ) =/= ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ { Y } ) ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ { Z } ) ( F ` Z ) =/= ( F ` y ) ) ) )
2019adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( A. x e. { X , Y , Z } A. y e. ( A \ { x } ) ( F ` x ) =/= ( F ` y ) <-> ( A. y e. ( A \ { X } ) ( F ` X ) =/= ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ { Y } ) ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ { Z } ) ( F ` Z ) =/= ( F ` y ) ) ) )
212difeq1i 3724 . . . . . . . . . . 11 |- ( A \ { X } ) = ( { X , Y , Z } \ { X } )
22 tprot 4284 . . . . . . . . . . . . 13 |- { X , Y , Z } = { Y , Z , X }
2322difeq1i 3724 . . . . . . . . . . . 12 |- ( { X , Y , Z } \ { X } ) = ( { Y , Z , X } \ { X } )
24 necom 2847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X =/= Y <-> Y =/= X )
25 necom 2847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X =/= Z <-> Z =/= X )
2624, 25anbi12i 733 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z ) <-> ( Y =/= X /\ Z =/= X ) )
2726biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z ) -> ( Y =/= X /\ Z =/= X ) )
28273adant3 1081 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> ( Y =/= X /\ Z =/= X ) )
29 diftpsn3 4332 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Y =/= X /\ Z =/= X ) -> ( { Y , Z , X } \ { X } ) = { Y , Z } )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> ( { Y , Z , X } \ { X } ) = { Y , Z } )
3123, 30syl5eq 2668 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> ( { X , Y , Z } \ { X } ) = { Y , Z } )
3221, 31syl5eq 2668 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> ( A \ { X } ) = { Y , Z } )
3332adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( A \ { X } ) = { Y , Z } )
3433raleqdv 3144 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( A. y e. ( A \ { X } ) ( F ` X ) =/= ( F ` y ) <-> A. y e. { Y , Z } ( F ` X ) =/= ( F ` y ) ) )
35 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = Y -> ( F ` y ) = ( F ` Y ) )
3635neeq2d 2854 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = Y -> ( ( F ` X ) =/= ( F ` y ) <-> ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) ) )
37 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = Z -> ( F ` y ) = ( F ` Z ) )
3837neeq2d 2854 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = Z -> ( ( F ` X ) =/= ( F ` y ) <-> ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) ) )
3936, 38ralprg 4234 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Y e. V /\ Z e. W ) -> ( A. y e. { Y , Z } ( F ` X ) =/= ( F ` y ) <-> ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) ) ) )
40393adant1 1079 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) -> ( A. y e. { Y , Z } ( F ` X ) =/= ( F ` y ) <-> ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) ) ) )
4140adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( A. y e. { Y , Z } ( F ` X ) =/= ( F ` y ) <-> ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) ) ) )
4234, 41bitrd 268 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( A. y e. ( A \ { X } ) ( F ` X ) =/= ( F ` y ) <-> ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) ) ) )
432difeq1i 3724 . . . . . . . . . . 11 |- ( A \ { Y } ) = ( { X , Y , Z } \ { Y } )
44 tpcomb 4286 . . . . . . . . . . . . 13 |- { X , Y , Z } = { X , Z , Y }
4544difeq1i 3724 . . . . . . . . . . . 12 |- ( { X , Y , Z } \ { Y } ) = ( { X , Z , Y } \ { Y } )
46 necom 2847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Y =/= Z <-> Z =/= Y )
4746biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Y =/= Z -> Z =/= Y )
4847anim2i 593 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X =/= Y /\ Y =/= Z ) -> ( X =/= Y /\ Z =/= Y ) )
49483adant2 1080 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> ( X =/= Y /\ Z =/= Y ) )
50 diftpsn3 4332 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X =/= Y /\ Z =/= Y ) -> ( { X , Z , Y } \ { Y } ) = { X , Z } )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> ( { X , Z , Y } \ { Y } ) = { X , Z } )
5245, 51syl5eq 2668 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> ( { X , Y , Z } \ { Y } ) = { X , Z } )
5343, 52syl5eq 2668 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> ( A \ { Y } ) = { X , Z } )
5453adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( A \ { Y } ) = { X , Z } )
5554raleqdv 3144 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( A. y e. ( A \ { Y } ) ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) <-> A. y e. { X , Z } ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) ) )
56 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = X -> ( F ` y ) = ( F ` X ) )
5756neeq2d 2854 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = X -> ( ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) <-> ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) ) )
5837neeq2d 2854 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = Z -> ( ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) <-> ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) )
5957, 58ralprg 4234 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. U /\ Z e. W ) -> ( A. y e. { X , Z } ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) <-> ( ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) ) )
60593adant2 1080 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) -> ( A. y e. { X , Z } ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) <-> ( ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) ) )
6160adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( A. y e. { X , Z } ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) <-> ( ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) ) )
6255, 61bitrd 268 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( A. y e. ( A \ { Y } ) ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) <-> ( ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) ) )
632difeq1i 3724 . . . . . . . . . . 11 |- ( A \ { Z } ) = ( { X , Y , Z } \ { Z } )
64 diftpsn3 4332 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> ( { X , Y , Z } \ { Z } ) = { X , Y } )
65643adant1 1079 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> ( { X , Y , Z } \ { Z } ) = { X , Y } )
6663, 65syl5eq 2668 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> ( A \ { Z } ) = { X , Y } )
6766adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( A \ { Z } ) = { X , Y } )
6867raleqdv 3144 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( A. y e. ( A \ { Z } ) ( F ` Z ) =/= ( F ` y ) <-> A. y e. { X , Y } ( F ` Z ) =/= ( F ` y ) ) )
6956neeq2d 2854 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = X -> ( ( F ` Z ) =/= ( F ` y ) <-> ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) ) )
7035neeq2d 2854 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = Y -> ( ( F ` Z ) =/= ( F ` y ) <-> ( F ` Z ) =/= ( F ` Y ) ) )
7169, 70ralprg 4234 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. U /\ Y e. V ) -> ( A. y e. { X , Y } ( F ` Z ) =/= ( F ` y ) <-> ( ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` Z ) =/= ( F ` Y ) ) ) )
72713adant3 1081 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) -> ( A. y e. { X , Y } ( F ` Z ) =/= ( F ` y ) <-> ( ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` Z ) =/= ( F ` Y ) ) ) )
7372adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( A. y e. { X , Y } ( F ` Z ) =/= ( F ` y ) <-> ( ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` Z ) =/= ( F ` Y ) ) ) )
7468, 73bitrd 268 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( A. y e. ( A \ { Z } ) ( F ` Z ) =/= ( F ` y ) <-> ( ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` Z ) =/= ( F ` Y ) ) ) )
7542, 62, 743anbi123d 1399 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( ( A. y e. ( A \ { X } ) ( F ` X ) =/= ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ { Y } ) ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ { Z } ) ( F ` Z ) =/= ( F ` y ) ) <-> ( ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) ) /\ ( ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) /\ ( ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` Z ) =/= ( F ` Y ) ) ) ) )
76 ancom 466 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) <-> ( ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) ) )
77763anbi2i 1254 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) ) /\ ( ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) /\ ( ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` Z ) =/= ( F ` Y ) ) ) <-> ( ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) ) /\ ( ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) ) /\ ( ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` Z ) =/= ( F ` Y ) ) ) )
78 3an6 1409 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) ) /\ ( ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) ) /\ ( ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` Z ) =/= ( F ` Y ) ) ) <-> ( ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) /\ ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) ) /\ ( ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` Z ) =/= ( F ` Y ) ) ) )
79 3anrot 1043 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) <-> ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) /\ ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) ) )
8079bicomi 214 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) /\ ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) ) <-> ( ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) )
81 necom 2847 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) <-> ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) )
82 necom 2847 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) <-> ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) )
83 necom 2847 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` Z ) =/= ( F ` Y ) <-> ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) )
8481, 82, 833anbi123i 1251 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` Z ) =/= ( F ` Y ) ) <-> ( ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) )
8580, 84anbi12i 733 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) /\ ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) ) /\ ( ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` Z ) =/= ( F ` Y ) ) ) <-> ( ( ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) /\ ( ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) ) )
86 anidm 676 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) /\ ( ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) ) <-> ( ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) )
87 3ancoma 1045 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) <-> ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) )
88 necom 2847 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) <-> ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) )
89883anbi2i 1254 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) <-> ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) )
9087, 89bitri 264 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) <-> ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) )
9185, 86, 903bitri 286 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) /\ ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) ) /\ ( ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` Z ) =/= ( F ` Y ) ) ) <-> ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) )
9277, 78, 913bitri 286 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) ) /\ ( ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) /\ ( ( F ` Z ) =/= ( F ` X ) /\ ( F ` Z ) =/= ( F ` Y ) ) ) <-> ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) )
9375, 92syl6bb 276 . . . . 5 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( ( A. y e. ( A \ { X } ) ( F ` X ) =/= ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ { Y } ) ( F ` Y ) =/= ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ { Z } ) ( F ` Z ) =/= ( F ` y ) ) <-> ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) ) )
9420, 93bitrd 268 . . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( A. x e. { X , Y , Z } A. y e. ( A \ { x } ) ( F ` x ) =/= ( F ` y ) <-> ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) ) )
953, 94syl5bb 272 . . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( A. x e. A A. y e. ( A \ { x } ) ( F ` x ) =/= ( F ` y ) <-> ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) ) )
9695anbi2d 740 . 2 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. ( A \ { x } ) ( F ` x ) =/= ( F ` y ) ) <-> ( F : A --> B /\ ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) ) ) )
971, 96syl5bb 272 1 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) /\ ( F ` X ) =/= ( F ` Z ) /\ ( F ` Y ) =/= ( F ` Z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   {csn 4177   {cpr 4179   {ctp 4181   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fv 5896
This theorem is referenced by:  f13idfv  12800
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