Theorem eqfnfvd 6314

Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqfnfvd.1	|- ( ph -> F Fn A )
eqfnfvd.2	|- ( ph -> G Fn A )
eqfnfvd.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = ( G ` x ) )

Assertion

Ref	Expression
eqfnfvd	|- ( ph -> F = G )

Distinct variable groups:   x, A   x, F   x, G   ph, x

Proof of Theorem eqfnfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqfnfvd.3	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = ( G ` x ) )
2	1	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) )
3		eqfnfvd.1	. . 3 |- ( ph -> F Fn A )
4		eqfnfvd.2	. . 3 |- ( ph -> G Fn A )
5		eqfnfv 6311	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ G Fn A ) -> ( F = G <-> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( F = G <-> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
7	2, 6	mpbird 247	1 |- ( ph -> F = G )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   Fn wfn 5883   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  foeqcnvco  6555  f1eqcocnv  6556  offveq  6918  tfrlem1  7472  ackbij2lem2  9062  ackbij2lem3  9063  fpwwe2lem8  9459  seqfeq2  12824  seqfeq  12826  seqfeq3  12851  ccatlid  13369  ccatrid  13370  ccatass  13371  swrdid  13428  ccatswrd  13456  swrdccat1  13457  swrdccat2  13458  swrdswrd  13460  cats1un  13475  swrdccatin1  13483  swrdccatin2  13487  swrdccatin12  13491  revccat  13515  revrev  13516  cshco  13582  swrdco  13583  seqshft  13825  seq1st  15284  xpsfeq  16224  yonedainv  16921  pwsco1mhm  17370  f1otrspeq  17867  pmtrfinv  17881  symgtrinv  17892  frgpup3lem  18190  ablfac1eu  18472  psrlidm  19403  psrridm  19404  psrass1  19405  subrgascl  19498  evlslem1  19515  psgndiflemB  19946  frlmup1  20137  frlmup3  20139  frlmup4  20140  mavmulass  20355  upxp  21426  uptx  21428  cnextfres1  21872  ovolshftlem1  23277  volsup  23324  dvidlem  23679  dvrec  23718  dveq0  23763  dv11cn  23764  ftc1cn  23806  coemulc  24011  aannenlem1  24083  ulmuni  24146  ulmdv  24157  ostthlem1  25316  nvinvfval  27495  sspn  27591  kbass2  28976  xppreima2  29450  psgnfzto1stlem  29850  indpreima  30087  esumcvg  30148  signstres  30652  hgt750lemb  30734  subfacp1lem4  31165  cvmliftmolem2  31264  msubff1  31453  iprodefisumlem  31626  poimirlem8  33417  poimirlem13  33422  poimirlem14  33423  ftc1cnnc  33484  eqlkr3  34388  cdleme51finvN  35844  ismrcd2  37262  rfovcnvf1od  38298  dssmapntrcls  38426  dvconstbi  38533  fsumsermpt  39811  icccncfext  40100  voliooicof  40213  etransclem35  40486  rrxsnicc  40520  ovolval4lem1  40863  ccatpfx  41409  pfxccat1  41410  pfxccatin12  41425  zrinitorngc  42000  zrtermorngc  42001  zrtermoringc  42070