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Theorem f1prex 6539
Description: Relate a one-to-one function with a pair as domain and two different variables. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
f1prex.1 |- ( x = ( f ` A ) -> ( ps <-> ch ) )
f1prex.2 |- ( y = ( f ` B ) -> ( ch <-> ph ) )
Assertion
Ref Expression
f1prex |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> ( E. f ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) <-> E. x e. D E. y e. D ( x =/= y /\ ps ) ) )
Distinct variable groups:   A, f, x, y   B, f, x, y   D, f, x, y   f, V, x, y   f, W, x, y   ch, x   ps, f   ph, x, y
Allowed substitution hints:   ph( f)   ps( x, y)   ch( y, f)
Proof of Theorem f1prex
StepHypRef Expression
1 simpl1 1064 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) ) -> A e. V )
2 simpl2 1065 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) ) -> B e. W )
3 simprl 794 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) ) -> f : { A , B } -1-1-> D )
4 f1f 6101 . . . . . . . 8 |- ( f : { A , B } -1-1-> D -> f : { A , B } --> D )
53, 4syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) ) -> f : { A , B } --> D )
6 fpr2g 6475 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( f : { A , B } --> D <-> ( ( f ` A ) e. D /\ ( f ` B ) e. D /\ f = { <. A , ( f ` A ) >. , <. B , ( f ` B ) >. } ) ) )
76biimpa 501 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ f : { A , B } --> D ) -> ( ( f ` A ) e. D /\ ( f ` B ) e. D /\ f = { <. A , ( f ` A ) >. , <. B , ( f ` B ) >. } ) )
87simp1d 1073 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ f : { A , B } --> D ) -> ( f ` A ) e. D )
91, 2, 5, 8syl21anc 1325 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) ) -> ( f ` A ) e. D )
107simp2d 1074 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ f : { A , B } --> D ) -> ( f ` B ) e. D )
111, 2, 5, 10syl21anc 1325 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) ) -> ( f ` B ) e. D )
12 prid1g 4295 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> A e. { A , B } )
131, 12syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) ) -> A e. { A , B } )
14 prid2g 4296 . . . . . . . . . 10 |- ( B e. W -> B e. { A , B } )
152, 14syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) ) -> B e. { A , B } )
1613, 15jca 554 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) ) -> ( A e. { A , B } /\ B e. { A , B } ) )
17 simpl3 1066 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) ) -> A =/= B )
18 f1veqaeq 6514 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ( A e. { A , B } /\ B e. { A , B } ) ) -> ( ( f ` A ) = ( f ` B ) -> A = B ) )
1918necon3d 2815 . . . . . . . . 9 |- ( ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ( A e. { A , B } /\ B e. { A , B } ) ) -> ( A =/= B -> ( f ` A ) =/= ( f ` B ) ) )
2019imp 445 . . . . . . . 8 |- ( ( ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ( A e. { A , B } /\ B e. { A , B } ) ) /\ A =/= B ) -> ( f ` A ) =/= ( f ` B ) )
213, 16, 17, 20syl21anc 1325 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) ) -> ( f ` A ) =/= ( f ` B ) )
22 simprr 796 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) ) -> ph )
2321, 22jca 554 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) ) -> ( ( f ` A ) =/= ( f ` B ) /\ ph ) )
24 neeq1 2856 . . . . . . . 8 |- ( x = ( f ` A ) -> ( x =/= y <-> ( f ` A ) =/= y ) )
25 f1prex.1 . . . . . . . 8 |- ( x = ( f ` A ) -> ( ps <-> ch ) )
2624, 25anbi12d 747 . . . . . . 7 |- ( x = ( f ` A ) -> ( ( x =/= y /\ ps ) <-> ( ( f ` A ) =/= y /\ ch ) ) )
27 neeq2 2857 . . . . . . . 8 |- ( y = ( f ` B ) -> ( ( f ` A ) =/= y <-> ( f ` A ) =/= ( f ` B ) ) )
28 f1prex.2 . . . . . . . 8 |- ( y = ( f ` B ) -> ( ch <-> ph ) )
2927, 28anbi12d 747 . . . . . . 7 |- ( y = ( f ` B ) -> ( ( ( f ` A ) =/= y /\ ch ) <-> ( ( f ` A ) =/= ( f ` B ) /\ ph ) ) )
3026, 29rspc2ev 3324 . . . . . 6 |- ( ( ( f ` A ) e. D /\ ( f ` B ) e. D /\ ( ( f ` A ) =/= ( f ` B ) /\ ph ) ) -> E. x e. D E. y e. D ( x =/= y /\ ps ) )
319, 11, 23, 30syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) ) -> E. x e. D E. y e. D ( x =/= y /\ ps ) )
3231ex 450 . . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> ( ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) -> E. x e. D E. y e. D ( x =/= y /\ ps ) ) )
3332exlimdv 1861 . . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> ( E. f ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) -> E. x e. D E. y e. D ( x =/= y /\ ps ) ) )
3433imp 445 . 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ E. f ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) ) -> E. x e. D E. y e. D ( x =/= y /\ ps ) )
35 simpll1 1100 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) -> A e. V )
36 simplrl 800 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) -> x e. D )
3735, 36jca 554 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) -> ( A e. V /\ x e. D ) )
38 simpll2 1101 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) -> B e. W )
39 simplrr 801 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) -> y e. D )
4038, 39jca 554 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) -> ( B e. W /\ y e. D ) )
41 simpll3 1102 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) -> A =/= B )
42 simprl 794 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) -> x =/= y )
43 f1oprg 6181 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ x e. D ) /\ ( B e. W /\ y e. D ) ) -> ( ( A =/= B /\ x =/= y ) -> { <. A , x >. , <. B , y >. } : { A , B } -1-1-onto-> { x , y } ) )
4443imp 445 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. D ) /\ ( B e. W /\ y e. D ) ) /\ ( A =/= B /\ x =/= y ) ) -> { <. A , x >. , <. B , y >. } : { A , B } -1-1-onto-> { x , y } )
4537, 40, 41, 42, 44syl22anc 1327 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) -> { <. A , x >. , <. B , y >. } : { A , B } -1-1-onto-> { x , y } )
46 f1of1 6136 . . . . . . . . 9 |- ( { <. A , x >. , <. B , y >. } : { A , B } -1-1-onto-> { x , y } -> { <. A , x >. , <. B , y >. } : { A , B } -1-1-> { x , y } )
4745, 46syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) -> { <. A , x >. , <. B , y >. } : { A , B } -1-1-> { x , y } )
48 prssi 4353 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. D /\ y e. D ) -> { x , y } C_ D )
4936, 39, 48syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) -> { x , y } C_ D )
50 f1ss 6106 . . . . . . . 8 |- ( ( { <. A , x >. , <. B , y >. } : { A , B } -1-1-> { x , y } /\ { x , y } C_ D ) -> { <. A , x >. , <. B , y >. } : { A , B } -1-1-> D )
5147, 49, 50syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) -> { <. A , x >. , <. B , y >. } : { A , B } -1-1-> D )
52 fvpr1g 6458 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ x e. D /\ A =/= B ) -> ( { <. A , x >. , <. B , y >. } ` A ) = x )
5352eqcomd 2628 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ x e. D /\ A =/= B ) -> x = ( { <. A , x >. , <. B , y >. } ` A ) )
5435, 36, 41, 53syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) -> x = ( { <. A , x >. , <. B , y >. } ` A ) )
55 fvpr2g 6459 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. W /\ y e. D /\ A =/= B ) -> ( { <. A , x >. , <. B , y >. } ` B ) = y )
5655eqcomd 2628 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. W /\ y e. D /\ A =/= B ) -> y = ( { <. A , x >. , <. B , y >. } ` B ) )
5738, 39, 41, 56syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) -> y = ( { <. A , x >. , <. B , y >. } ` B ) )
58 prex 4909 . . . . . . . 8 |- { <. A , x >. , <. B , y >. } e. _V
59 f1eq1 6096 . . . . . . . . 9 |- ( f = { <. A , x >. , <. B , y >. } -> ( f : { A , B } -1-1-> D <-> { <. A , x >. , <. B , y >. } : { A , B } -1-1-> D ) )
60 fveq1 6190 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = { <. A , x >. , <. B , y >. } -> ( f ` A ) = ( { <. A , x >. , <. B , y >. } ` A ) )
6160eqeq2d 2632 . . . . . . . . . 10 |- ( f = { <. A , x >. , <. B , y >. } -> ( x = ( f ` A ) <-> x = ( { <. A , x >. , <. B , y >. } ` A ) ) )
62 fveq1 6190 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = { <. A , x >. , <. B , y >. } -> ( f ` B ) = ( { <. A , x >. , <. B , y >. } ` B ) )
6362eqeq2d 2632 . . . . . . . . . 10 |- ( f = { <. A , x >. , <. B , y >. } -> ( y = ( f ` B ) <-> y = ( { <. A , x >. , <. B , y >. } ` B ) ) )
6461, 63anbi12d 747 . . . . . . . . 9 |- ( f = { <. A , x >. , <. B , y >. } -> ( ( x = ( f ` A ) /\ y = ( f ` B ) ) <-> ( x = ( { <. A , x >. , <. B , y >. } ` A ) /\ y = ( { <. A , x >. , <. B , y >. } ` B ) ) ) )
6559, 64anbi12d 747 . . . . . . . 8 |- ( f = { <. A , x >. , <. B , y >. } -> ( ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ( x = ( f ` A ) /\ y = ( f ` B ) ) ) <-> ( { <. A , x >. , <. B , y >. } : { A , B } -1-1-> D /\ ( x = ( { <. A , x >. , <. B , y >. } ` A ) /\ y = ( { <. A , x >. , <. B , y >. } ` B ) ) ) ) )
6658, 65spcev 3300 . . . . . . 7 |- ( ( { <. A , x >. , <. B , y >. } : { A , B } -1-1-> D /\ ( x = ( { <. A , x >. , <. B , y >. } ` A ) /\ y = ( { <. A , x >. , <. B , y >. } ` B ) ) ) -> E. f ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ( x = ( f ` A ) /\ y = ( f ` B ) ) ) )
6751, 54, 57, 66syl12anc 1324 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) -> E. f ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ( x = ( f ` A ) /\ y = ( f ` B ) ) ) )
68 simprl 794 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) /\ ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ( x = ( f ` A ) /\ y = ( f ` B ) ) ) ) -> f : { A , B } -1-1-> D )
69 simplrr 801 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) /\ ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ( x = ( f ` A ) /\ y = ( f ` B ) ) ) ) -> ps )
70 simprrl 804 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) /\ ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ( x = ( f ` A ) /\ y = ( f ` B ) ) ) ) -> x = ( f ` A ) )
7170, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) /\ ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ( x = ( f ` A ) /\ y = ( f ` B ) ) ) ) -> ( ps <-> ch ) )
7269, 71mpbid 222 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) /\ ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ( x = ( f ` A ) /\ y = ( f ` B ) ) ) ) -> ch )
73 simprrr 805 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) /\ ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ( x = ( f ` A ) /\ y = ( f ` B ) ) ) ) -> y = ( f ` B ) )
7473, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) /\ ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ( x = ( f ` A ) /\ y = ( f ` B ) ) ) ) -> ( ch <-> ph ) )
7572, 74mpbid 222 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) /\ ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ( x = ( f ` A ) /\ y = ( f ` B ) ) ) ) -> ph )
7668, 75jca 554 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) /\ ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ( x = ( f ` A ) /\ y = ( f ` B ) ) ) ) -> ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) )
7776ex 450 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) -> ( ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ( x = ( f ` A ) /\ y = ( f ` B ) ) ) -> ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) ) )
7877eximdv 1846 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) -> ( E. f ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ( x = ( f ` A ) /\ y = ( f ` B ) ) ) -> E. f ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) ) )
7967, 78mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( x =/= y /\ ps ) ) -> E. f ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) )
8079ex 450 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( ( x =/= y /\ ps ) -> E. f ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) ) )
8180rexlimdvva 3038 . . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> ( E. x e. D E. y e. D ( x =/= y /\ ps ) -> E. f ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) ) )
8281imp 445 . 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ E. x e. D E. y e. D ( x =/= y /\ ps ) ) -> E. f ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) )
8334, 82impbida 877 1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> ( E. f ( f : { A , B } -1-1-> D /\ ph ) <-> E. x e. D E. y e. D ( x =/= y /\ ps ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   C_ wss 3574   {cpr 4179   <.cop 4183   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896
This theorem is referenced by:  istrkg3ld  25360
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