Theorem fiiuncl 39234

Description: If a set is closed under the union of two sets, then it is closed under finite indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiiuncl.xph	|- F/ x ph
fiiuncl.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. D )
fiiuncl.un	|- ( ( ph /\ y e. D /\ z e. D ) -> ( y u. z ) e. D )
fiiuncl.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fiiuncl.n0	|- ( ph -> A =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
fiiuncl	|- ( ph -> U_ x e. A B e. D )

Distinct variable groups:   x, A   y, B, z   x, D, y, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( y, z)   B( x)

Proof of Theorem fiiuncl

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiiuncl.n0	. 2 |- ( ph -> A =/= (/) )
2		neeq1 2856	. . . 4 |- ( v = (/) -> ( v =/= (/) <-> (/) =/= (/) ) )
3		iuneq1 4534	. . . . 5 |- ( v = (/) -> U_ x e. v B = U_ x e. (/) B )
4	3	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( v = (/) -> ( U_ x e. v B e. D <-> U_ x e. (/) B e. D ) )
5	2, 4	imbi12d 334	. . 3 |- ( v = (/) -> ( ( v =/= (/) -> U_ x e. v B e. D ) <-> ( (/) =/= (/) -> U_ x e. (/) B e. D ) ) )
6		neeq1 2856	. . . 4 |- ( v = w -> ( v =/= (/) <-> w =/= (/) ) )
7		iuneq1 4534	. . . . 5 |- ( v = w -> U_ x e. v B = U_ x e. w B )
8	7	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( v = w -> ( U_ x e. v B e. D <-> U_ x e. w B e. D ) )
9	6, 8	imbi12d 334	. . 3 |- ( v = w -> ( ( v =/= (/) -> U_ x e. v B e. D ) <-> ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) ) )
10		neeq1 2856	. . . 4 |- ( v = ( w u. { u } ) -> ( v =/= (/) <-> ( w u. { u } ) =/= (/) ) )
11		iuneq1 4534	. . . . 5 |- ( v = ( w u. { u } ) -> U_ x e. v B = U_ x e. ( w u. { u } ) B )
12	11	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( v = ( w u. { u } ) -> ( U_ x e. v B e. D <-> U_ x e. ( w u. { u } ) B e. D ) )
13	10, 12	imbi12d 334	. . 3 |- ( v = ( w u. { u } ) -> ( ( v =/= (/) -> U_ x e. v B e. D ) <-> ( ( w u. { u } ) =/= (/) -> U_ x e. ( w u. { u } ) B e. D ) ) )
14		neeq1 2856	. . . 4 |- ( v = A -> ( v =/= (/) <-> A =/= (/) ) )
15		iuneq1 4534	. . . . 5 |- ( v = A -> U_ x e. v B = U_ x e. A B )
16	15	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( v = A -> ( U_ x e. v B e. D <-> U_ x e. A B e. D ) )
17	14, 16	imbi12d 334	. . 3 |- ( v = A -> ( ( v =/= (/) -> U_ x e. v B e. D ) <-> ( A =/= (/) -> U_ x e. A B e. D ) ) )
18		neirr 2803	. . . . 5 |- -. (/) =/= (/)
19	18	pm2.21i 116	. . . 4 |- ( (/) =/= (/) -> U_ x e. (/) B e. D )
20	19	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( (/) =/= (/) -> U_ x e. (/) B e. D ) )
21		iunxun 4605	. . . . . . . 8 |- U_ x e. ( w u. { u } ) B = ( U_ x e. w B u. U_ x e. { u } B )
22		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x [_ u / x ]_ B
23		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- u e. _V
24		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> B = [_ u / x ]_ B )
25	22, 23, 24	iunxsnf 39233	. . . . . . . . 9 |- U_ x e. { u } B = [_ u / x ]_ B
26	25	uneq2i 3764	. . . . . . . 8 |- ( U_ x e. w B u. U_ x e. { u } B ) = ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B )
27	21, 26	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- U_ x e. ( w u. { u } ) B = ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B )
28		iuneq1 4534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = (/) -> U_ x e. w B = U_ x e. (/) B )
29		0iun 4577	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ x e. (/) B = (/)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = (/) -> U_ x e. (/) B = (/) )
31	28, 30	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = (/) -> U_ x e. w B = (/) )
32	31	uneq1d 3766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = (/) -> ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) = ( (/) u. [_ u / x ]_ B ) )
33		0un 39215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) u. [_ u / x ]_ B ) = [_ u / x ]_ B
34		unidm 3756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [_ u / x ]_ B u. [_ u / x ]_ B ) = [_ u / x ]_ B
35	33, 34	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) u. [_ u / x ]_ B ) = ( [_ u / x ]_ B u. [_ u / x ]_ B )
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = (/) -> ( (/) u. [_ u / x ]_ B ) = ( [_ u / x ]_ B u. [_ u / x ]_ B ) )
37	32, 36	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = (/) -> ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) = ( [_ u / x ]_ B u. [_ u / x ]_ B ) )
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) /\ w = (/) ) -> ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) = ( [_ u / x ]_ B u. [_ u / x ]_ B ) )
39		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) -> ph )
40		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( A \ w ) -> u e. A )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) -> u e. A )
42		fiiuncl.xph	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x ph
43		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x u e. A
44	42, 43	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( ph /\ u e. A )
45		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x D
46	22, 45	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x [_ u / x ]_ B e. D
47	44, 46	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x ( ( ph /\ u e. A ) -> [_ u / x ]_ B e. D )
48		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = u -> ( x e. A <-> u e. A ) )
49	48	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = u -> ( ( ph /\ x e. A ) <-> ( ph /\ u e. A ) ) )
50	24	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = u -> ( B e. D <-> [_ u / x ]_ B e. D ) )
51	49, 50	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = u -> ( ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. D ) <-> ( ( ph /\ u e. A ) -> [_ u / x ]_ B e. D ) ) )
52		fiiuncl.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. D )
53	47, 51, 52	chvar 2262	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> [_ u / x ]_ B e. D )
54	34, 53	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( [_ u / x ]_ B u. [_ u / x ]_ B ) e. D )
55	39, 41, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) -> ( [_ u / x ]_ B u. [_ u / x ]_ B ) e. D )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) /\ w = (/) ) -> ( [_ u / x ]_ B u. [_ u / x ]_ B ) e. D )
57	38, 56	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) /\ w = (/) ) -> ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) e. D )
58	57	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) /\ ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) ) /\ w = (/) ) -> ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) e. D )
59		simplll 798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) /\ ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) ) /\ -. w = (/) ) -> ph )
60	40	ad3antlr 767	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) /\ ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) ) /\ -. w = (/) ) -> u e. A )
61		neqne 2802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. w = (/) -> w =/= (/) )
62	61	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) /\ -. w = (/) ) -> w =/= (/) )
63		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) /\ -. w = (/) ) -> ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) )
64	62, 63	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) /\ -. w = (/) ) -> U_ x e. w B e. D )
65	64	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) /\ ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) ) /\ -. w = (/) ) -> U_ x e. w B e. D )
66	53	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. A /\ U_ x e. w B e. D ) -> [_ u / x ]_ B e. D )
67		simp3 1063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. A /\ U_ x e. w B e. D ) -> U_ x e. w B e. D )
68		simp1 1061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. A /\ U_ x e. w B e. D ) -> ph )
69	68, 67, 66	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. A /\ U_ x e. w B e. D ) -> ( ph /\ U_ x e. w B e. D /\ [_ u / x ]_ B e. D ) )
70		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = [_ u / x ]_ B -> ( z e. D <-> [_ u / x ]_ B e. D ) )
71	70	3anbi3d 1405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = [_ u / x ]_ B -> ( ( ph /\ U_ x e. w B e. D /\ z e. D ) <-> ( ph /\ U_ x e. w B e. D /\ [_ u / x ]_ B e. D ) ) )
72		uneq2 3761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = [_ u / x ]_ B -> ( U_ x e. w B u. z ) = ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) )
73	72	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = [_ u / x ]_ B -> ( ( U_ x e. w B u. z ) e. D <-> ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) e. D ) )
74	71, 73	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = [_ u / x ]_ B -> ( ( ( ph /\ U_ x e. w B e. D /\ z e. D ) -> ( U_ x e. w B u. z ) e. D ) <-> ( ( ph /\ U_ x e. w B e. D /\ [_ u / x ]_ B e. D ) -> ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) e. D ) ) )
75	74	imbi2d 330	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = [_ u / x ]_ B -> ( ( U_ x e. w B e. D -> ( ( ph /\ U_ x e. w B e. D /\ z e. D ) -> ( U_ x e. w B u. z ) e. D ) ) <-> ( U_ x e. w B e. D -> ( ( ph /\ U_ x e. w B e. D /\ [_ u / x ]_ B e. D ) -> ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) e. D ) ) ) )
76		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = U_ x e. w B -> ( y e. D <-> U_ x e. w B e. D ) )
77	76	3anbi2d 1404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = U_ x e. w B -> ( ( ph /\ y e. D /\ z e. D ) <-> ( ph /\ U_ x e. w B e. D /\ z e. D ) ) )
78		uneq1 3760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = U_ x e. w B -> ( y u. z ) = ( U_ x e. w B u. z ) )
79	78	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = U_ x e. w B -> ( ( y u. z ) e. D <-> ( U_ x e. w B u. z ) e. D ) )
80	77, 79	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = U_ x e. w B -> ( ( ( ph /\ y e. D /\ z e. D ) -> ( y u. z ) e. D ) <-> ( ( ph /\ U_ x e. w B e. D /\ z e. D ) -> ( U_ x e. w B u. z ) e. D ) ) )
81		fiiuncl.un	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. D /\ z e. D ) -> ( y u. z ) e. D )
82	80, 81	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . 11 |- ( U_ x e. w B e. D -> ( ( ph /\ U_ x e. w B e. D /\ z e. D ) -> ( U_ x e. w B u. z ) e. D ) )
83	75, 82	vtoclg 3266	. . . . . . . . . 10 |- ( [_ u / x ]_ B e. D -> ( U_ x e. w B e. D -> ( ( ph /\ U_ x e. w B e. D /\ [_ u / x ]_ B e. D ) -> ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) e. D ) ) )
84	66, 67, 69, 83	syl3c 66	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. A /\ U_ x e. w B e. D ) -> ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) e. D )
85	59, 60, 65, 84	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) /\ ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) ) /\ -. w = (/) ) -> ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) e. D )
86	58, 85	pm2.61dan 832	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) /\ ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) ) -> ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) e. D )
87	27, 86	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) /\ ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) ) -> U_ x e. ( w u. { u } ) B e. D )
88	87	a1d 25	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) /\ ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) ) -> ( ( w u. { u } ) =/= (/) -> U_ x e. ( w u. { u } ) B e. D ) )
89	88	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) -> ( ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) -> ( ( w u. { u } ) =/= (/) -> U_ x e. ( w u. { u } ) B e. D ) ) )
90	89	adantrl 752	. . 3 |- ( ( ph /\ ( w C_ A /\ u e. ( A \ w ) ) ) -> ( ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) -> ( ( w u. { u } ) =/= (/) -> U_ x e. ( w u. { u } ) B e. D ) ) )
91		fiiuncl.a	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
92	5, 9, 13, 17, 20, 90, 91	findcard2d 8202	. 2 |- ( ph -> ( A =/= (/) -> U_ x e. A B e. D ) )
93	1, 92	mpd 15	1 |- ( ph -> U_ x e. A B e. D )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   [_csb 3533   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U_ciun 4520   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  fiunicl  39236  caragenfiiuncl  40729