Theorem fin2solem 33395

Description: Lemma for fin2so 33396. (Contributed by Brendan Leahy, 29-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fin2solem	|- ( ( R Or x /\ ( y e. x /\ z e. x ) ) -> ( y R z -> { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R z } ) )

Distinct variable group:   x, w, y, z, R

Proof of Theorem fin2solem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. x /\ z e. x ) /\ w e. x ) <-> ( w e. x /\ ( y e. x /\ z e. x ) ) )
2		3anass 1042	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. x /\ y e. x /\ z e. x ) <-> ( w e. x /\ ( y e. x /\ z e. x ) ) )
3	1, 2	bitr4i 267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. x /\ z e. x ) /\ w e. x ) <-> ( w e. x /\ y e. x /\ z e. x ) )
4		sotr 5057	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Or x /\ ( w e. x /\ y e. x /\ z e. x ) ) -> ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) )
5	3, 4	sylan2b 492	. . . . . . . 8 |- ( ( R Or x /\ ( ( y e. x /\ z e. x ) /\ w e. x ) ) -> ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) )
6	5	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( R Or x /\ ( y e. x /\ z e. x ) ) /\ w e. x ) -> ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) )
7	6	ancomsd 470	. . . . . 6 |- ( ( ( R Or x /\ ( y e. x /\ z e. x ) ) /\ w e. x ) -> ( ( y R z /\ w R y ) -> w R z ) )
8	7	expdimp 453	. . . . 5 |- ( ( ( ( R Or x /\ ( y e. x /\ z e. x ) ) /\ w e. x ) /\ y R z ) -> ( w R y -> w R z ) )
9	8	an32s 846	. . . 4 |- ( ( ( ( R Or x /\ ( y e. x /\ z e. x ) ) /\ y R z ) /\ w e. x ) -> ( w R y -> w R z ) )
10	9	ss2rabdv 3683	. . 3 |- ( ( ( R Or x /\ ( y e. x /\ z e. x ) ) /\ y R z ) -> { w e. x | w R y } C_ { w e. x | w R z } )
11		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( w R z <-> y R z ) )
12	11	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( y e. { w e. x | w R z } <-> ( y e. x /\ y R z ) )
13	12	biimpri 218	. . . . . 6 |- ( ( y e. x /\ y R z ) -> y e. { w e. x | w R z } )
14	13	adantll 750	. . . . 5 |- ( ( ( R Or x /\ y e. x ) /\ y R z ) -> y e. { w e. x | w R z } )
15		sonr 5056	. . . . . . 7 |- ( ( R Or x /\ y e. x ) -> -. y R y )
16		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( w R y <-> y R y ) )
17	16	elrab 3363	. . . . . . . 8 |- ( y e. { w e. x | w R y } <-> ( y e. x /\ y R y ) )
18	17	simprbi 480	. . . . . . 7 |- ( y e. { w e. x | w R y } -> y R y )
19	15, 18	nsyl 135	. . . . . 6 |- ( ( R Or x /\ y e. x ) -> -. y e. { w e. x | w R y } )
20	19	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( R Or x /\ y e. x ) /\ y R z ) -> -. y e. { w e. x | w R y } )
21		nelne1 2890	. . . . . 6 |- ( ( y e. { w e. x | w R z } /\ -. y e. { w e. x | w R y } ) -> { w e. x | w R z } =/= { w e. x | w R y } )
22	21	necomd 2849	. . . . 5 |- ( ( y e. { w e. x | w R z } /\ -. y e. { w e. x | w R y } ) -> { w e. x | w R y } =/= { w e. x | w R z } )
23	14, 20, 22	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( R Or x /\ y e. x ) /\ y R z ) -> { w e. x | w R y } =/= { w e. x | w R z } )
24	23	adantlrr 757	. . 3 |- ( ( ( R Or x /\ ( y e. x /\ z e. x ) ) /\ y R z ) -> { w e. x | w R y } =/= { w e. x | w R z } )
25		vex 3203	. . . . . 6 |- x e. _V
26	25	rabex 4813	. . . . 5 |- { w e. x | w R z } e. _V
27	26	brrpss 6940	. . . 4 |- ( { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R z } <-> { w e. x | w R y } C. { w e. x | w R z } )
28		df-pss 3590	. . . 4 |- ( { w e. x | w R y } C. { w e. x | w R z } <-> ( { w e. x | w R y } C_ { w e. x | w R z } /\ { w e. x | w R y } =/= { w e. x | w R z } ) )
29	27, 28	bitri 264	. . 3 |- ( { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R z } <-> ( { w e. x | w R y } C_ { w e. x | w R z } /\ { w e. x | w R y } =/= { w e. x | w R z } ) )
30	10, 24, 29	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( ( R Or x /\ ( y e. x /\ z e. x ) ) /\ y R z ) -> { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R z } )
31	30	ex 450	1 |- ( ( R Or x /\ ( y e. x /\ z e. x ) ) -> ( y R z -> { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R z } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   C_ wss 3574   C. wpss 3575   class class class wbr 4653   Or wor 5034   [ C.] crpss 6936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-rpss 6937

This theorem is referenced by:  fin2so  33396