Theorem fin2so 33396

Description: Any totally ordered Tarski-finite set is finite; in particular, no amorphous set can be ordered. Theorem 2 of [Levy58]] p. 4. (Contributed by Brendan Leahy, 28-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fin2so	|- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> A e. Fin )

Proof of Theorem fin2so

Dummy variables v u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> A e. FinII )
2		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { w e. x | w R v } C_ x
3		sstr 3611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( { w e. x | w R v } C_ x /\ x C_ A ) -> { w e. x | w R v } C_ A )
4	2, 3	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x C_ A -> { w e. x | w R v } C_ A )
5		elpw2g 4827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. FinII -> ( { w e. x | w R v } e. ~P A <-> { w e. x | w R v } C_ A ) )
6	5	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. FinII /\ { w e. x | w R v } C_ A ) -> { w e. x | w R v } e. ~P A )
7	4, 6	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. FinII /\ x C_ A ) -> { w e. x | w R v } e. ~P A )
8	7	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. FinII /\ x C_ A ) -> A. v e. x { w e. x | w R v } e. ~P A )
9		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- x e. _V
10	9	rabex 4813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { w e. x | w R v } e. _V
11	10	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- A. v e. x { w e. x | w R v } e. _V
12		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = ( v e. x |-> { w e. x | w R v } )
13		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = { w e. x | w R v } -> ( y e. ~P A <-> { w e. x | w R v } e. ~P A ) )
14	12, 13	ralrnmpt 6368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. v e. x { w e. x | w R v } e. _V -> ( A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) y e. ~P A <-> A. v e. x { w e. x | w R v } e. ~P A ) )
15	11, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) y e. ~P A <-> A. v e. x { w e. x | w R v } e. ~P A )
16	8, 15	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. FinII /\ x C_ A ) -> A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) y e. ~P A )
17		dfss3 3592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) C_ ~P A <-> A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) y e. ~P A )
18	16, 17	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. FinII /\ x C_ A ) -> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) C_ ~P A )
19	18	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) -> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) C_ ~P A )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) C_ ~P A )
21	10, 12	dmmpti 6023	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = x
22	21	neeq1i 2858	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) <-> x =/= (/) )
23		dm0rn0 5342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( dom ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = (/) <-> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = (/) )
24	23	necon3bii 2846	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) <-> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) )
25	22, 24	sylbb1 227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x =/= (/) -> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) )
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) )
27		soss 5053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x C_ A -> ( R Or A -> R Or x ) )
28	27	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R Or A /\ x C_ A ) -> R Or x )
29		porpss 6941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- [ C.] Po ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } )
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R Or x -> [ C.] Po ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
31		solin 5058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( R Or x /\ ( v e. x /\ y e. x ) ) -> ( v R y \/ v = y \/ y R v ) )
32		fin2solem 33395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( R Or x /\ ( v e. x /\ y e. x ) ) -> ( v R y -> { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } ) )
33		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( v = y -> ( w R v <-> w R y ) )
34	33	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( v = y -> { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } )
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( R Or x /\ ( v e. x /\ y e. x ) ) -> ( v = y -> { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } ) )
36		fin2solem 33395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( R Or x /\ ( y e. x /\ v e. x ) ) -> ( y R v -> { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) )
37	36	ancom2s 844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( R Or x /\ ( v e. x /\ y e. x ) ) -> ( y R v -> { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) )
38	32, 35, 37	3orim123d 1407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( R Or x /\ ( v e. x /\ y e. x ) ) -> ( ( v R y \/ v = y \/ y R v ) -> ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) ) )
39	31, 38	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R Or x /\ ( v e. x /\ y e. x ) ) -> ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) )
40	39	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R Or x -> A. v e. x A. y e. x ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) )
41		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u = { w e. x | w R v } -> ( u [ C.] { w e. x | w R y } <-> { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } ) )
42		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u = { w e. x | w R v } -> ( u = { w e. x | w R y } <-> { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } ) )
43		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u = { w e. x | w R v } -> ( { w e. x | w R y } [ C.] u <-> { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) )
44	41, 42, 43	3orbi123d 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( u = { w e. x | w R v } -> ( ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) <-> ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) ) )
45	44	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( u = { w e. x | w R v } -> ( A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) <-> A. y e. x ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) ) )
46	12, 45	ralrnmpt 6368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. v e. x { w e. x | w R v } e. _V -> ( A. u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) <-> A. v e. x A. y e. x ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) ) )
47	11, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) <-> A. v e. x A. y e. x ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) )
48	40, 47	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R Or x -> A. u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) )
49	48	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R Or x /\ u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ) -> A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) )
50	9	rabex 4813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { w e. x | w R y } e. _V
51	50	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- A. y e. x { w e. x | w R y } e. _V
52	34	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = ( y e. x |-> { w e. x | w R y } )
53		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = { w e. x | w R y } -> ( u [ C.] z <-> u [ C.] { w e. x | w R y } ) )
54		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = { w e. x | w R y } -> ( u = z <-> u = { w e. x | w R y } ) )
55		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = { w e. x | w R y } -> ( z [ C.] u <-> { w e. x | w R y } [ C.] u ) )
56	53, 54, 55	3orbi123d 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = { w e. x | w R y } -> ( ( u [ C.] z \/ u = z \/ z [ C.] u ) <-> ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) ) )
57	52, 56	ralrnmpt 6368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. y e. x { w e. x | w R y } e. _V -> ( A. z e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ( u [ C.] z \/ u = z \/ z [ C.] u ) <-> A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) ) )
58	51, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. z e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ( u [ C.] z \/ u = z \/ z [ C.] u ) <-> A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) )
59	49, 58	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R Or x /\ u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ) -> A. z e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ( u [ C.] z \/ u = z \/ z [ C.] u ) )
60	59	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R Or x /\ u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ) /\ z e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ) -> ( u [ C.] z \/ u = z \/ z [ C.] u ) )
61	60	anasss 679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Or x /\ ( u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) /\ z e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ) ) -> ( u [ C.] z \/ u = z \/ z [ C.] u ) )
62	30, 61	issod 5065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R Or x -> [ C.] Or ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
63	28, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Or A /\ x C_ A ) -> [ C.] Or ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
64	63	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) -> [ C.] Or ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> [ C.] Or ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
66		fin2i2 9140	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. FinII /\ ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) C_ ~P A ) /\ ( ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) /\ [ C.] Or ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ) ) -> |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
67	1, 20, 26, 65, 66	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
68	52, 50	elrnmpti 5376	. . . . . . . . . . 11 |- ( |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) <-> E. y e. x |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } )
69	67, 68	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> E. y e. x |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } )
70		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x C_ A /\ z e. x ) -> z e. A )
71		sonr 5056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R Or A /\ z e. A ) -> -. z R z )
72	70, 71	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R Or A /\ ( x C_ A /\ z e. x ) ) -> -. z R z )
73	72	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ z e. x ) -> -. z R z )
74	73	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ y e. x ) /\ z e. x ) -> -. z R z )
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ y e. x ) /\ z e. x ) /\ |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } ) -> -. z R z )
76		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = z -> ( w R y <-> z R y ) )
77	76	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. { w e. x | w R y } <-> ( z e. x /\ z R y ) )
78	77	simplbi2 655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. x -> ( z R y -> z e. { w e. x | w R y } ) )
79	78	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. x /\ z e. x ) /\ |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } ) -> ( z R y -> z e. { w e. x | w R y } ) )
80		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- z e. _V
81	80	elint2 4482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z e. |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) <-> A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) z e. y )
82		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y = { w e. x | w R v } -> ( z e. y <-> z e. { w e. x | w R v } ) )
83	12, 82	ralrnmpt 6368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. v e. x { w e. x | w R v } e. _V -> ( A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) z e. y <-> A. v e. x z e. { w e. x | w R v } ) )
84	11, 83	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) z e. y <-> A. v e. x z e. { w e. x | w R v } )
85	81, 84	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) <-> A. v e. x z e. { w e. x | w R v } )
86		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( v = z -> ( w R v <-> w R z ) )
87	86	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( v = z -> { w e. x | w R v } = { w e. x | w R z } )
88	87	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( v = z -> ( z e. { w e. x | w R v } <-> z e. { w e. x | w R z } ) )
89	88	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. x -> ( A. v e. x z e. { w e. x | w R v } -> z e. { w e. x | w R z } ) )
90		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = z -> ( w R z <-> z R z ) )
91	90	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z e. { w e. x | w R z } <-> ( z e. x /\ z R z ) )
92	91	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. { w e. x | w R z } -> z R z )
93	89, 92	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z e. x -> ( A. v e. x z e. { w e. x | w R v } -> z R z ) )
94	93	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. x /\ z e. x ) -> ( A. v e. x z e. { w e. x | w R v } -> z R z ) )
95	85, 94	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. x /\ z e. x ) -> ( z e. |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) -> z R z ) )
96		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> ( z e. |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) <-> z e. { w e. x | w R y } ) )
97	96	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> ( ( z e. |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) -> z R z ) <-> ( z e. { w e. x | w R y } -> z R z ) ) )
98	95, 97	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. x /\ z e. x ) -> ( |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> ( z e. { w e. x | w R y } -> z R z ) ) )
99	98	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. x /\ z e. x ) /\ |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } ) -> ( z e. { w e. x | w R y } -> z R z ) )
100	79, 99	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y e. x /\ z e. x ) /\ |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } ) -> ( z R y -> z R z ) )
101	100	adantlll 754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ y e. x ) /\ z e. x ) /\ |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } ) -> ( z R y -> z R z ) )
102	75, 101	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ y e. x ) /\ z e. x ) /\ |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } ) -> -. z R y )
103	102	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ y e. x ) /\ z e. x ) -> ( |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> -. z R y ) )
104	103	ralrimdva 2969	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ y e. x ) -> ( |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> A. z e. x -. z R y ) )
105	104	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R Or A /\ x C_ A ) -> ( E. y e. x |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> E. y e. x A. z e. x -. z R y ) )
106	105	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) -> ( E. y e. x |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> E. y e. x A. z e. x -. z R y ) )
107	106	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> ( E. y e. x |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> E. y e. x A. z e. x -. z R y ) )
108	69, 107	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> E. y e. x A. z e. x -. z R y )
109	108	expl 648	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> ( ( x C_ A /\ x =/= (/) ) -> E. y e. x A. z e. x -. z R y ) )
110	109	alrimiv 1855	. . . . . . 7 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> A. x ( ( x C_ A /\ x =/= (/) ) -> E. y e. x A. z e. x -. z R y ) )
111		df-fr 5073	. . . . . . 7 |- ( R Fr A <-> A. x ( ( x C_ A /\ x =/= (/) ) -> E. y e. x A. z e. x -. z R y ) )
112	110, 111	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> R Fr A )
113		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> R Or A )
114		df-we 5075	. . . . . 6 |- ( R We A <-> ( R Fr A /\ R Or A ) )
115	112, 113, 114	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> R We A )
116		weinxp 5186	. . . . 5 |- ( R We A <-> ( R i^i ( A X. A ) ) We A )
117	115, 116	sylib 208	. . . 4 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> ( R i^i ( A X. A ) ) We A )
118		sqxpexg 6963	. . . . . 6 |- ( A e. FinII -> ( A X. A ) e. _V )
119		incom 3805	. . . . . . 7 |- ( R i^i ( A X. A ) ) = ( ( A X. A ) i^i R )
120		inex1g 4801	. . . . . . 7 |- ( ( A X. A ) e. _V -> ( ( A X. A ) i^i R ) e. _V )
121	119, 120	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ( A X. A ) e. _V -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V )
122		weeq1 5102	. . . . . . 7 |- ( z = ( R i^i ( A X. A ) ) -> ( z We A <-> ( R i^i ( A X. A ) ) We A ) )
123	122	spcegv 3294	. . . . . 6 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V -> ( ( R i^i ( A X. A ) ) We A -> E. z z We A ) )
124	118, 121, 123	3syl 18	. . . . 5 |- ( A e. FinII -> ( ( R i^i ( A X. A ) ) We A -> E. z z We A ) )
125	124	imp 445	. . . 4 |- ( ( A e. FinII /\ ( R i^i ( A X. A ) ) We A ) -> E. z z We A )
126	117, 125	syldan 487	. . 3 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> E. z z We A )
127		ween 8858	. . 3 |- ( A e. dom card <-> E. z z We A )
128	126, 127	sylibr 224	. 2 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> A e. dom card )
129		fin23 9211	. . . . 5 |- ( A e. FinII -> A e. FinIII )
130		fin34 9212	. . . . 5 |- ( A e. FinIII -> A e. FinIV )
131		fin45 9214	. . . . 5 |- ( A e. FinIV -> A e. FinV )
132	129, 130, 131	3syl 18	. . . 4 |- ( A e. FinII -> A e. FinV )
133		fin56 9215	. . . 4 |- ( A e. FinV -> A e. FinVI )
134		fin67 9217	. . . 4 |- ( A e. FinVI -> A e. FinVII )
135	132, 133, 134	3syl 18	. . 3 |- ( A e. FinII -> A e. FinVII )
136		fin71num 9219	. . . 4 |- ( A e. dom card -> ( A e. FinVII <-> A e. Fin ) )
137	136	biimpac 503	. . 3 |- ( ( A e. FinVII /\ A e. dom card ) -> A e. Fin )
138	135, 137	sylan 488	. 2 |- ( ( A e. FinII /\ A e. dom card ) -> A e. Fin )
139	128, 138	syldan 487	1 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> A e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Po wpo 5033   Or wor 5034   Fr wfr 5070   We wwe 5072   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   [ C.] crpss 6936   Fincfn 7955   cardccrd 8761  Fin^IIcfin2 9101  Fin^IVcfin4 9102  Fin^IIIcfin3 9103  Fin^Vcfin5 9104  Fin^VIcfin6 9105  Fin^VIIcfin7 9106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rpss 6937  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-wdom 8464  df-card 8765  df-cda 8990  df-fin2 9108  df-fin4 9109  df-fin3 9110  df-fin5 9111  df-fin6 9112  df-fin7 9113

This theorem is referenced by: (None)