Theorem finixpnum 33394

Description: A finite Cartesian product of numerable sets is numerable. (Contributed by Brendan Leahy, 24-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
finixpnum	|- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. dom card ) -> X_ x e. A B e. dom card )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem finixpnum

Dummy variables v u w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 3138	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( A. x e. w B e. dom card <-> A. x e. (/) B e. dom card ) )
2		ixpeq1 7919	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> X_ x e. w B = X_ x e. (/) B )
3		ixp0x 7936	. . . . . 6 |- X_ x e. (/) B = { (/) }
4	2, 3	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( w = (/) -> X_ x e. w B = { (/) } )
5	4	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( X_ x e. w B e. dom card <-> { (/) } e. dom card ) )
6	1, 5	imbi12d 334	. . 3 |- ( w = (/) -> ( ( A. x e. w B e. dom card -> X_ x e. w B e. dom card ) <-> ( A. x e. (/) B e. dom card -> { (/) } e. dom card ) ) )
7		raleq 3138	. . . 4 |- ( w = y -> ( A. x e. w B e. dom card <-> A. x e. y B e. dom card ) )
8		ixpeq1 7919	. . . . 5 |- ( w = y -> X_ x e. w B = X_ x e. y B )
9	8	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( w = y -> ( X_ x e. w B e. dom card <-> X_ x e. y B e. dom card ) )
10	7, 9	imbi12d 334	. . 3 |- ( w = y -> ( ( A. x e. w B e. dom card -> X_ x e. w B e. dom card ) <-> ( A. x e. y B e. dom card -> X_ x e. y B e. dom card ) ) )
11		raleq 3138	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A. x e. w B e. dom card <-> A. x e. ( y u. { z } ) B e. dom card ) )
12		ralunb 3794	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( y u. { z } ) B e. dom card <-> ( A. x e. y B e. dom card /\ A. x e. { z } B e. dom card ) )
13		vex 3203	. . . . . . . 8 |- z e. _V
14		ralsnsg 4216	. . . . . . . . 9 |- ( z e. _V -> ( A. x e. { z } B e. dom card <-> [. z / x ]. B e. dom card ) )
15		sbcel1g 3987	. . . . . . . . 9 |- ( z e. _V -> ( [. z / x ]. B e. dom card <-> [_ z / x ]_ B e. dom card ) )
16	14, 15	bitrd 268	. . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> ( A. x e. { z } B e. dom card <-> [_ z / x ]_ B e. dom card ) )
17	13, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( A. x e. { z } B e. dom card <-> [_ z / x ]_ B e. dom card )
18	17	anbi2i 730	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. y B e. dom card /\ A. x e. { z } B e. dom card ) <-> ( A. x e. y B e. dom card /\ [_ z / x ]_ B e. dom card ) )
19	12, 18	bitri 264	. . . . 5 |- ( A. x e. ( y u. { z } ) B e. dom card <-> ( A. x e. y B e. dom card /\ [_ z / x ]_ B e. dom card ) )
20	11, 19	syl6bb 276	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A. x e. w B e. dom card <-> ( A. x e. y B e. dom card /\ [_ z / x ]_ B e. dom card ) ) )
21		ixpeq1 7919	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> X_ x e. w B = X_ x e. ( y u. { z } ) B )
22	21	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( X_ x e. w B e. dom card <-> X_ x e. ( y u. { z } ) B e. dom card ) )
23	20, 22	imbi12d 334	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( A. x e. w B e. dom card -> X_ x e. w B e. dom card ) <-> ( ( A. x e. y B e. dom card /\ [_ z / x ]_ B e. dom card ) -> X_ x e. ( y u. { z } ) B e. dom card ) ) )
24		raleq 3138	. . . 4 |- ( w = A -> ( A. x e. w B e. dom card <-> A. x e. A B e. dom card ) )
25		ixpeq1 7919	. . . . 5 |- ( w = A -> X_ x e. w B = X_ x e. A B )
26	25	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( w = A -> ( X_ x e. w B e. dom card <-> X_ x e. A B e. dom card ) )
27	24, 26	imbi12d 334	. . 3 |- ( w = A -> ( ( A. x e. w B e. dom card -> X_ x e. w B e. dom card ) <-> ( A. x e. A B e. dom card -> X_ x e. A B e. dom card ) ) )
28		snfi 8038	. . . 4 |- { (/) } e. Fin
29		finnum 8774	. . . 4 |- ( { (/) } e. Fin -> { (/) } e. dom card )
30	28, 29	mp1i 13	. . 3 |- ( A. x e. (/) B e. dom card -> { (/) } e. dom card )
31		pm2.27 42	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. y B e. dom card -> ( ( A. x e. y B e. dom card -> X_ x e. y B e. dom card ) -> X_ x e. y B e. dom card ) )
32		xpnum 8777	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X_ x e. y B e. dom card /\ [_ z / x ]_ B e. dom card ) -> ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) e. dom card )
33	32	ancoms 469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( [_ z / x ]_ B e. dom card /\ X_ x e. y B e. dom card ) -> ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) e. dom card )
34		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) -> ( 1st ` w ) e. X_ x e. y B )
35		ixpfn 7914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1st ` w ) e. X_ x e. y B -> ( 1st ` w ) Fn y )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) -> ( 1st ` w ) Fn y )
37		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2nd ` w ) e. _V
38	13, 37	fnsn 5946	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { <. z , ( 2nd ` w ) >. } Fn { z }
39	36, 38	jctir 561	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) -> ( ( 1st ` w ) Fn y /\ { <. z , ( 2nd ` w ) >. } Fn { z } ) )
40		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
41	40	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. z e. y -> ( y i^i { z } ) = (/) )
42		fnun 5997	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( 1st ` w ) Fn y /\ { <. z , ( 2nd ` w ) >. } Fn { z } ) /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) -> ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) Fn ( y u. { z } ) )
43	39, 41, 42	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. z e. y /\ w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) ) -> ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) Fn ( y u. { z } ) )
44		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1st ` w ) e. _V
45	44	elixp 7915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1st ` w ) e. X_ x e. y B <-> ( ( 1st ` w ) Fn y /\ A. x e. y ( ( 1st ` w ) ` x ) e. B ) )
46	34, 45	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) -> ( ( 1st ` w ) Fn y /\ A. x e. y ( ( 1st ` w ) ` x ) e. B ) )
47		fvun1 6269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 1st ` w ) Fn y /\ { <. z , ( 2nd ` w ) >. } Fn { z } /\ ( ( y i^i { z } ) = (/) /\ x e. y ) ) -> ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) = ( ( 1st ` w ) ` x ) )
48	38, 47	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( 1st ` w ) Fn y /\ ( ( y i^i { z } ) = (/) /\ x e. y ) ) -> ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) = ( ( 1st ` w ) ` x ) )
49	48	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( 1st ` w ) Fn y /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) /\ x e. y ) -> ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) = ( ( 1st ` w ) ` x ) )
50	49	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( 1st ` w ) Fn y /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) /\ x e. y ) -> ( ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) e. B <-> ( ( 1st ` w ) ` x ) e. B ) )
51	50	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( 1st ` w ) Fn y /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) /\ x e. y ) -> ( ( ( 1st ` w ) ` x ) e. B -> ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) e. B ) )
52	51	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1st ` w ) Fn y /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) -> ( A. x e. y ( ( 1st ` w ) ` x ) e. B -> A. x e. y ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) e. B ) )
53	52	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y i^i { z } ) = (/) /\ ( 1st ` w ) Fn y ) -> ( A. x e. y ( ( 1st ` w ) ` x ) e. B -> A. x e. y ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) e. B ) )
54	53	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y i^i { z } ) = (/) /\ ( ( 1st ` w ) Fn y /\ A. x e. y ( ( 1st ` w ) ` x ) e. B ) ) -> A. x e. y ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) e. B )
55	41, 46, 54	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. z e. y /\ w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) ) -> A. x e. y ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) e. B )
56		vsnid 4209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- z e. { z }
57	41, 56	jctir 561	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. z e. y -> ( ( y i^i { z } ) = (/) /\ z e. { z } ) )
58		fvun2 6270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 1st ` w ) Fn y /\ { <. z , ( 2nd ` w ) >. } Fn { z } /\ ( ( y i^i { z } ) = (/) /\ z e. { z } ) ) -> ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` z ) = ( { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ` z ) )
59	38, 58	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 1st ` w ) Fn y /\ ( ( y i^i { z } ) = (/) /\ z e. { z } ) ) -> ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` z ) = ( { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ` z ) )
60	36, 57, 59	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -. z e. y /\ w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) ) -> ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` z ) = ( { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ` z ) )
61		csbfv 6233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- [_ z / x ]_ ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) = ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` z )
62	13, 37	fvsn 6446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ` z ) = ( 2nd ` w )
63	62	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2nd ` w ) = ( { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ` z )
64	60, 61, 63	3eqtr4g 2681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -. z e. y /\ w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) ) -> [_ z / x ]_ ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) = ( 2nd ` w ) )
65		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) -> ( 2nd ` w ) e. [_ z / x ]_ B )
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -. z e. y /\ w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) ) -> ( 2nd ` w ) e. [_ z / x ]_ B )
67	64, 66	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. z e. y /\ w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) ) -> [_ z / x ]_ ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) e. [_ z / x ]_ B )
68		ralsnsg 4216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. _V -> ( A. x e. { z } ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) e. B <-> [. z / x ]. ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) e. B ) )
69	13, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. { z } ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) e. B <-> [. z / x ]. ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) e. B )
70		sbcel12 3983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [. z / x ]. ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) e. B <-> [_ z / x ]_ ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) e. [_ z / x ]_ B )
71	69, 70	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. { z } ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) e. B <-> [_ z / x ]_ ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) e. [_ z / x ]_ B )
72	67, 71	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. z e. y /\ w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) ) -> A. x e. { z } ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) e. B )
73		ralun 3795	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. x e. y ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) e. B /\ A. x e. { z } ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) e. B ) -> A. x e. ( y u. { z } ) ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) e. B )
74	55, 72, 73	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. z e. y /\ w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) ) -> A. x e. ( y u. { z } ) ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) e. B )
75		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { <. z , ( 2nd ` w ) >. } e. _V
76	44, 75	unex 6956	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) e. _V
77	76	elixp 7915	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) e. X_ x e. ( y u. { z } ) B <-> ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ` x ) e. B ) )
78	43, 74, 77	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. z e. y /\ w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) ) -> ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) e. X_ x e. ( y u. { z } ) B )
79		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) |-> ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ) = ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) |-> ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) )
80	78, 79	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. z e. y -> ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) |-> ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ) : ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) --> X_ x e. ( y u. { z } ) B )
81		ixpfn 7914	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. X_ x e. ( y u. { z } ) B -> u Fn ( y u. { z } ) )
82		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- y C_ ( y u. { z } )
83		fnssres 6004	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u Fn ( y u. { z } ) /\ y C_ ( y u. { z } ) ) -> ( u |` y ) Fn y )
84	81, 82, 83	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. X_ x e. ( y u. { z } ) B -> ( u |` y ) Fn y )
85		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- u e. _V
86	85	elixp 7915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. X_ x e. ( y u. { z } ) B <-> ( u Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( u ` x ) e. B ) )
87		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y C_ ( y u. { z } ) -> ( A. x e. ( y u. { z } ) ( u ` x ) e. B -> A. x e. y ( u ` x ) e. B ) )
88	82, 87	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. ( y u. { z } ) ( u ` x ) e. B -> A. x e. y ( u ` x ) e. B )
89		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. y -> ( ( u |` y ) ` x ) = ( u ` x ) )
90	89	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. y -> ( ( ( u |` y ) ` x ) e. B <-> ( u ` x ) e. B ) )
91	90	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. y -> ( ( u ` x ) e. B -> ( ( u |` y ) ` x ) e. B ) )
92	91	ralimia 2950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. y ( u ` x ) e. B -> A. x e. y ( ( u |` y ) ` x ) e. B )
93	88, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. x e. ( y u. { z } ) ( u ` x ) e. B -> A. x e. y ( ( u |` y ) ` x ) e. B )
94	93	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( u ` x ) e. B ) -> A. x e. y ( ( u |` y ) ` x ) e. B )
95	86, 94	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. X_ x e. ( y u. { z } ) B -> A. x e. y ( ( u |` y ) ` x ) e. B )
96	85	resex 5443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u |` y ) e. _V
97	96	elixp 7915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u |` y ) e. X_ x e. y B <-> ( ( u |` y ) Fn y /\ A. x e. y ( ( u |` y ) ` x ) e. B ) )
98	84, 95, 97	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. X_ x e. ( y u. { z } ) B -> ( u |` y ) e. X_ x e. y B )
99		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { z } C_ ( y u. { z } )
100	99, 56	sselii 3600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. ( y u. { z } )
101		csbeq1 3536	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = z -> [_ w / x ]_ B = [_ z / x ]_ B )
102	101	fvixp 7913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. X_ w e. ( y u. { z } ) [_ w / x ]_ B /\ z e. ( y u. { z } ) ) -> ( u ` z ) e. [_ z / x ]_ B )
103	100, 102	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. X_ w e. ( y u. { z } ) [_ w / x ]_ B -> ( u ` z ) e. [_ z / x ]_ B )
104		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ w B
105		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ w / x ]_ B
106		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = w -> B = [_ w / x ]_ B )
107	104, 105, 106	cbvixp 7925	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- X_ x e. ( y u. { z } ) B = X_ w e. ( y u. { z } ) [_ w / x ]_ B
108	103, 107	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. X_ x e. ( y u. { z } ) B -> ( u ` z ) e. [_ z / x ]_ B )
109		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( u |` y ) e. X_ x e. y B /\ ( u ` z ) e. [_ z / x ]_ B ) -> <. ( u |` y ) , ( u ` z ) >. e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) )
110	98, 108, 109	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. X_ x e. ( y u. { z } ) B -> <. ( u |` y ) , ( u ` z ) >. e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) )
111	110	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. z e. y /\ u e. X_ x e. ( y u. { z } ) B ) -> <. ( u |` y ) , ( u ` z ) >. e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) )
112		disj3 4021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> y = ( y \ { z } ) )
113	40, 112	sylbb1 227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. z e. y -> y = ( y \ { z } ) )
114		difun2 4048	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y u. { z } ) \ { z } ) = ( y \ { z } )
115	113, 114	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. z e. y -> y = ( ( y u. { z } ) \ { z } ) )
116	115	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. z e. y -> ( u |` y ) = ( u |` ( ( y u. { z } ) \ { z } ) ) )
117	116	uneq1d 3766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. z e. y -> ( ( u |` y ) u. { <. z , ( u ` z ) >. } ) = ( ( u |` ( ( y u. { z } ) \ { z } ) ) u. { <. z , ( u ` z ) >. } ) )
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. z e. y /\ u e. X_ x e. ( y u. { z } ) B ) -> ( ( u |` y ) u. { <. z , ( u ` z ) >. } ) = ( ( u |` ( ( y u. { z } ) \ { z } ) ) u. { <. z , ( u ` z ) >. } ) )
119		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u ` z ) e. _V
120	96, 119	op1std 7178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = <. ( u |` y ) , ( u ` z ) >. -> ( 1st ` w ) = ( u |` y ) )
121	96, 119	op2ndd 7179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = <. ( u |` y ) , ( u ` z ) >. -> ( 2nd ` w ) = ( u ` z ) )
122	121	opeq2d 4409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = <. ( u |` y ) , ( u ` z ) >. -> <. z , ( 2nd ` w ) >. = <. z , ( u ` z ) >. )
123	122	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = <. ( u |` y ) , ( u ` z ) >. -> { <. z , ( 2nd ` w ) >. } = { <. z , ( u ` z ) >. } )
124	120, 123	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = <. ( u |` y ) , ( u ` z ) >. -> ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) = ( ( u |` y ) u. { <. z , ( u ` z ) >. } ) )
125		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { <. z , ( u ` z ) >. } e. _V
126	96, 125	unex 6956	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u |` y ) u. { <. z , ( u ` z ) >. } ) e. _V
127	124, 79, 126	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. ( u |` y ) , ( u ` z ) >. e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) -> ( ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) |-> ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ) ` <. ( u |` y ) , ( u ` z ) >. ) = ( ( u |` y ) u. { <. z , ( u ` z ) >. } ) )
128	110, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. X_ x e. ( y u. { z } ) B -> ( ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) |-> ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ) ` <. ( u |` y ) , ( u ` z ) >. ) = ( ( u |` y ) u. { <. z , ( u ` z ) >. } ) )
129	128	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. z e. y /\ u e. X_ x e. ( y u. { z } ) B ) -> ( ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) |-> ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ) ` <. ( u |` y ) , ( u ` z ) >. ) = ( ( u |` y ) u. { <. z , ( u ` z ) >. } ) )
130		fnsnsplit 6450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u Fn ( y u. { z } ) /\ z e. ( y u. { z } ) ) -> u = ( ( u |` ( ( y u. { z } ) \ { z } ) ) u. { <. z , ( u ` z ) >. } ) )
131	81, 100, 130	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. X_ x e. ( y u. { z } ) B -> u = ( ( u |` ( ( y u. { z } ) \ { z } ) ) u. { <. z , ( u ` z ) >. } ) )
132	131	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. z e. y /\ u e. X_ x e. ( y u. { z } ) B ) -> u = ( ( u |` ( ( y u. { z } ) \ { z } ) ) u. { <. z , ( u ` z ) >. } ) )
133	118, 129, 132	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. z e. y /\ u e. X_ x e. ( y u. { z } ) B ) -> u = ( ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) |-> ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ) ` <. ( u |` y ) , ( u ` z ) >. ) )
134		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = <. ( u |` y ) , ( u ` z ) >. -> ( ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) |-> ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ) ` v ) = ( ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) |-> ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ) ` <. ( u |` y ) , ( u ` z ) >. ) )
135	134	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = <. ( u |` y ) , ( u ` z ) >. -> ( u = ( ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) |-> ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ) ` v ) <-> u = ( ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) |-> ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ) ` <. ( u |` y ) , ( u ` z ) >. ) ) )
136	135	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( <. ( u |` y ) , ( u ` z ) >. e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) /\ u = ( ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) |-> ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ) ` <. ( u |` y ) , ( u ` z ) >. ) ) -> E. v e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) u = ( ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) |-> ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ) ` v ) )
137	111, 133, 136	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. z e. y /\ u e. X_ x e. ( y u. { z } ) B ) -> E. v e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) u = ( ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) |-> ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ) ` v ) )
138	137	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. z e. y -> A. u e. X_ x e. ( y u. { z } ) B E. v e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) u = ( ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) |-> ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ) ` v ) )
139		dffo3 6374	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) |-> ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ) : ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) -onto-> X_ x e. ( y u. { z } ) B <-> ( ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) |-> ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ) : ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) --> X_ x e. ( y u. { z } ) B /\ A. u e. X_ x e. ( y u. { z } ) B E. v e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) u = ( ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) |-> ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ) ` v ) ) )
140	80, 138, 139	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( -. z e. y -> ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) |-> ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ) : ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) -onto-> X_ x e. ( y u. { z } ) B )
141		fonum 8881	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) e. dom card /\ ( w e. ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) |-> ( ( 1st ` w ) u. { <. z , ( 2nd ` w ) >. } ) ) : ( X_ x e. y B X. [_ z / x ]_ B ) -onto-> X_ x e. ( y u. { z } ) B ) -> X_ x e. ( y u. { z } ) B e. dom card )
142	33, 140, 141	syl2anr 495	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. z e. y /\ ( [_ z / x ]_ B e. dom card /\ X_ x e. y B e. dom card ) ) -> X_ x e. ( y u. { z } ) B e. dom card )
143	142	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( -. z e. y /\ [_ z / x ]_ B e. dom card ) -> ( X_ x e. y B e. dom card -> X_ x e. ( y u. { z } ) B e. dom card ) )
144	31, 143	syl9r 78	. . . . . . 7 |- ( ( -. z e. y /\ [_ z / x ]_ B e. dom card ) -> ( A. x e. y B e. dom card -> ( ( A. x e. y B e. dom card -> X_ x e. y B e. dom card ) -> X_ x e. ( y u. { z } ) B e. dom card ) ) )
145	144	expimpd 629	. . . . . 6 |- ( -. z e. y -> ( ( [_ z / x ]_ B e. dom card /\ A. x e. y B e. dom card ) -> ( ( A. x e. y B e. dom card -> X_ x e. y B e. dom card ) -> X_ x e. ( y u. { z } ) B e. dom card ) ) )
146	145	ancomsd 470	. . . . 5 |- ( -. z e. y -> ( ( A. x e. y B e. dom card /\ [_ z / x ]_ B e. dom card ) -> ( ( A. x e. y B e. dom card -> X_ x e. y B e. dom card ) -> X_ x e. ( y u. { z } ) B e. dom card ) ) )
147	146	com23 86	. . . 4 |- ( -. z e. y -> ( ( A. x e. y B e. dom card -> X_ x e. y B e. dom card ) -> ( ( A. x e. y B e. dom card /\ [_ z / x ]_ B e. dom card ) -> X_ x e. ( y u. { z } ) B e. dom card ) ) )
148	147	adantl 482	. . 3 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( A. x e. y B e. dom card -> X_ x e. y B e. dom card ) -> ( ( A. x e. y B e. dom card /\ [_ z / x ]_ B e. dom card ) -> X_ x e. ( y u. { z } ) B e. dom card ) ) )
149	6, 10, 23, 27, 30, 148	findcard2s 8201	. 2 |- ( A e. Fin -> ( A. x e. A B e. dom card -> X_ x e. A B e. dom card ) )
150	149	imp 445	1 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. dom card ) -> X_ x e. A B e. dom card )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   [_csb 3533   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   X_cixp 7908   Fincfn 7955   cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-card 8765  df-acn 8768

This theorem is referenced by:  poimirlem32  33441