Theorem flimsncls 21790

Description: If A is a limit point of the filter F, then all the points which specialize A (in the specialization preorder) are also limit points. Thus, the set of limit points is a union of closed sets (although this is only nontrivial for non-T1 spaces). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
flimsncls	|- ( A e. ( J fLim F ) -> ( ( cls ` J ) ` { A } ) C_ ( J fLim F ) )

Proof of Theorem flimsncls

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flimtop 21769	. . . . . 6 |- ( A e. ( J fLim F ) -> J e. Top )
2		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
3	2	flimelbas 21772	. . . . . . 7 |- ( A e. ( J fLim F ) -> A e. U. J )
4	3	snssd 4340	. . . . . 6 |- ( A e. ( J fLim F ) -> { A } C_ U. J )
5	2	clsss3 20863	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ { A } C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` { A } ) C_ U. J )
6	1, 4, 5	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( A e. ( J fLim F ) -> ( ( cls ` J ) ` { A } ) C_ U. J )
7	6	sselda 3603	. . . 4 |- ( ( A e. ( J fLim F ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` { A } ) ) -> x e. U. J )
8		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( J fLim F ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` { A } ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> A e. ( J fLim F ) )
9	8, 1	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( J fLim F ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` { A } ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> J e. Top )
10		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( J fLim F ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` { A } ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> y e. J )
11	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( J fLim F ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` { A } ) ) -> J e. Top )
12	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( J fLim F ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` { A } ) ) -> { A } C_ U. J )
13		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( J fLim F ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` { A } ) ) -> x e. ( ( cls ` J ) ` { A } ) )
14	11, 12, 13	3jca 1242	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( J fLim F ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` { A } ) ) -> ( J e. Top /\ { A } C_ U. J /\ x e. ( ( cls ` J ) ` { A } ) ) )
15	2	clsndisj 20879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ { A } C_ U. J /\ x e. ( ( cls ` J ) ` { A } ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> ( y i^i { A } ) =/= (/) )
16		disjsn 4246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y i^i { A } ) = (/) <-> -. A e. y )
17	16	necon2abii 2844	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. y <-> ( y i^i { A } ) =/= (/) )
18	15, 17	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ { A } C_ U. J /\ x e. ( ( cls ` J ) ` { A } ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> A e. y )
19	14, 18	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( J fLim F ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` { A } ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> A e. y )
20		opnneip 20923	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ y e. J /\ A e. y ) -> y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
21	9, 10, 19, 20	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( J fLim F ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` { A } ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
22		flimnei 21771	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( J fLim F ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> y e. F )
23	8, 21, 22	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( J fLim F ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` { A } ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> y e. F )
24	23	expr 643	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( J fLim F ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` { A } ) ) /\ y e. J ) -> ( x e. y -> y e. F ) )
25	24	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( A e. ( J fLim F ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` { A } ) ) -> A. y e. J ( x e. y -> y e. F ) )
26	2	toptopon 20722	. . . . . 6 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
27	11, 26	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( A e. ( J fLim F ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` { A } ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
28	2	flimfil 21773	. . . . . 6 |- ( A e. ( J fLim F ) -> F e. ( Fil ` U. J ) )
29	28	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. ( J fLim F ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` { A } ) ) -> F e. ( Fil ` U. J ) )
30		flimopn 21779	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ F e. ( Fil ` U. J ) ) -> ( x e. ( J fLim F ) <-> ( x e. U. J /\ A. y e. J ( x e. y -> y e. F ) ) ) )
31	27, 29, 30	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( A e. ( J fLim F ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` { A } ) ) -> ( x e. ( J fLim F ) <-> ( x e. U. J /\ A. y e. J ( x e. y -> y e. F ) ) ) )
32	7, 25, 31	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ( A e. ( J fLim F ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` { A } ) ) -> x e. ( J fLim F ) )
33	32	ex 450	. 2 |- ( A e. ( J fLim F ) -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` { A } ) -> x e. ( J fLim F ) ) )
34	33	ssrdv 3609	1 |- ( A e. ( J fLim F ) -> ( ( cls ` J ) ` { A } ) C_ ( J fLim F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   clsccl 20822   neicnei 20901   Filcfil 21649   fLim cflim 21738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-fbas 19743  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-fil 21650  df-flim 21743

This theorem is referenced by:  tsmscls  21941