Theorem flimopn 21779

Description: The condition for being a limit point of a filter still holds if one only considers open neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 4-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
flimopn	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, F   x, J   x, X

Proof of Theorem flimopn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elflim 21775	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F ) ) )
2		dfss3 3592	. . . 4 |- ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F <-> A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F )
3		topontop 20718	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
4	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> J e. Top )
5		opnneip 20923	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ A e. x ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
6	5	3expb 1266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ A e. x ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
7	4, 6	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( x e. J /\ A e. x ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
8		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( y e. F <-> x e. F ) )
9	8	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> x e. F ) )
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( x e. J /\ A e. x ) ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> x e. F ) )
11	10	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ x e. J ) -> ( A e. x -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> x e. F ) ) )
12	11	com23 86	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ x e. J ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> ( A e. x -> x e. F ) ) )
13	12	ralrimdva 2969	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) )
14		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
15	3	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> J e. Top )
16		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. X )
17		toponuni 20719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
18	17	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> X = U. J )
19	16, 18	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. U. J )
20	19	snssd 4340	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> { A } C_ U. J )
21		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. J = U. J
22	21	neii1 20910	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> y C_ U. J )
23	4, 22	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> y C_ U. J )
24	21	neiint 20908	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ { A } C_ U. J /\ y C_ U. J ) -> ( y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) ) )
25	15, 20, 23, 24	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) ) )
26	14, 25	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) )
27		snssg 4327	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. X -> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) ) )
28	27	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) ) )
29	26, 28	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. ( ( int ` J ) ` y ) )
30	21	ntropn 20853	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ y C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. J )
31	15, 23, 30	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. J )
32		eleq2 2690	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( int ` J ) ` y ) -> ( A e. x <-> A e. ( ( int ` J ) ` y ) ) )
33		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( int ` J ) ` y ) -> ( x e. F <-> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) )
34	32, 33	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( int ` J ) ` y ) -> ( ( A e. x -> x e. F ) <-> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) ) )
35	34	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( int ` J ) ` y ) e. J -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) ) )
36	31, 35	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) ) )
37	29, 36	mpid 44	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) )
38		simpllr 799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
39	21	ntrss2 20861	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ y C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` y ) C_ y )
40	15, 23, 39	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( ( int ` J ) ` y ) C_ y )
41	23, 18	sseqtr4d 3642	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> y C_ X )
42		filss 21657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( ( ( int ` J ) ` y ) e. F /\ y C_ X /\ ( ( int ` J ) ` y ) C_ y ) ) -> y e. F )
43	42	3exp2 1285	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( ( ( int ` J ) ` y ) e. F -> ( y C_ X -> ( ( ( int ` J ) ` y ) C_ y -> y e. F ) ) ) )
44	43	com24 95	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( ( ( int ` J ) ` y ) C_ y -> ( y C_ X -> ( ( ( int ` J ) ` y ) e. F -> y e. F ) ) ) )
45	38, 40, 41, 44	syl3c 66	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( ( ( int ` J ) ` y ) e. F -> y e. F ) )
46	37, 45	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> y e. F ) )
47	46	ralrimdva 2969	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F ) )
48	13, 47	impbid 202	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F <-> A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) )
49	2, 48	syl5bb 272	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F <-> A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) )
50	49	pm5.32da 673	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( ( A e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F ) <-> ( A e. X /\ A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) ) )
51	1, 50	bitrd 268	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   {csn 4177   U.cuni 4436   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   intcnt 20821   neicnei 20901   Filcfil 21649   fLim cflim 21738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-fbas 19743  df-top 20699  df-topon 20716  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-fil 21650  df-flim 21743

This theorem is referenced by:  fbflim  21780  flimrest  21787  flimsncls  21790  isflf  21797  cnpflfi  21803  flimfnfcls  21832  alexsublem  21848  cfilfcls  23072  iscmet3lem2  23090