Theorem fmptco1f1o 29434

Description: The action of composing (to the right) with a bijection is itself a bijection of functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptco1f1o.a	|- A = ( R ^m E )
fmptco1f1o.b	|- B = ( R ^m D )
fmptco1f1o.f	|- F = ( f e. A |-> ( f o. T ) )
fmptco1f1o.d	|- ( ph -> D e. V )
fmptco1f1o.e	|- ( ph -> E e. W )
fmptco1f1o.r	|- ( ph -> R e. X )
fmptco1f1o.t	|- ( ph -> T : D -1-1-onto-> E )

Assertion

Ref	Expression
fmptco1f1o	|- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   A, f   B, f   T, f   ph, f

Allowed substitution hints:   D( f)   R( f)   E( f)   F( f)   V( f)   W( f)   X( f)

Proof of Theorem fmptco1f1o

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptco1f1o.f	. . . 4 |- F = ( f e. A |-> ( f o. T ) )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> F = ( f e. A |-> ( f o. T ) ) )
3		fmptco1f1o.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. X )
4	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> R e. X )
5		fmptco1f1o.d	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. V )
6	5	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> D e. V )
7		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f e. A )
8		fmptco1f1o.a	. . . . . . . 8 |- A = ( R ^m E )
9	7, 8	syl6eleq 2711	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f e. ( R ^m E ) )
10		elmapi 7879	. . . . . . 7 |- ( f e. ( R ^m E ) -> f : E --> R )
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : E --> R )
12		fmptco1f1o.t	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T : D -1-1-onto-> E )
13		f1of 6137	. . . . . . . 8 |- ( T : D -1-1-onto-> E -> T : D --> E )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> T : D --> E )
15	14	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> T : D --> E )
16		fco 6058	. . . . . 6 |- ( ( f : E --> R /\ T : D --> E ) -> ( f o. T ) : D --> R )
17	11, 15, 16	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> ( f o. T ) : D --> R )
18		elmapg 7870	. . . . . 6 |- ( ( R e. X /\ D e. V ) -> ( ( f o. T ) e. ( R ^m D ) <-> ( f o. T ) : D --> R ) )
19	18	biimpar 502	. . . . 5 |- ( ( ( R e. X /\ D e. V ) /\ ( f o. T ) : D --> R ) -> ( f o. T ) e. ( R ^m D ) )
20	4, 6, 17, 19	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> ( f o. T ) e. ( R ^m D ) )
21		fmptco1f1o.b	. . . 4 |- B = ( R ^m D )
22	20, 21	syl6eleqr 2712	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> ( f o. T ) e. B )
23	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. B ) -> R e. X )
24		fmptco1f1o.e	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. W )
25	24	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. B ) -> E e. W )
26		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. B ) -> g e. B )
27	26, 21	syl6eleq 2711	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. B ) -> g e. ( R ^m D ) )
28		elmapi 7879	. . . . . . 7 |- ( g e. ( R ^m D ) -> g : D --> R )
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. B ) -> g : D --> R )
30		f1ocnv 6149	. . . . . . . 8 |- ( T : D -1-1-onto-> E -> `' T : E -1-1-onto-> D )
31		f1of 6137	. . . . . . . 8 |- ( `' T : E -1-1-onto-> D -> `' T : E --> D )
32	12, 30, 31	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> `' T : E --> D )
33	32	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. B ) -> `' T : E --> D )
34		fco 6058	. . . . . 6 |- ( ( g : D --> R /\ `' T : E --> D ) -> ( g o. `' T ) : E --> R )
35	29, 33, 34	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. B ) -> ( g o. `' T ) : E --> R )
36		elmapg 7870	. . . . . 6 |- ( ( R e. X /\ E e. W ) -> ( ( g o. `' T ) e. ( R ^m E ) <-> ( g o. `' T ) : E --> R ) )
37	36	biimpar 502	. . . . 5 |- ( ( ( R e. X /\ E e. W ) /\ ( g o. `' T ) : E --> R ) -> ( g o. `' T ) e. ( R ^m E ) )
38	23, 25, 35, 37	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( ( ph /\ g e. B ) -> ( g o. `' T ) e. ( R ^m E ) )
39	38, 8	syl6eleqr 2712	. . 3 |- ( ( ph /\ g e. B ) -> ( g o. `' T ) e. A )
40		coass 5654	. . . . . . 7 |- ( ( g o. `' T ) o. T ) = ( g o. ( `' T o. T ) )
41	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> T : D -1-1-onto-> E )
42		f1ococnv1 6165	. . . . . . . . . 10 |- ( T : D -1-1-onto-> E -> ( `' T o. T ) = ( _I |` D ) )
43	42	coeq2d 5284	. . . . . . . . 9 |- ( T : D -1-1-onto-> E -> ( g o. ( `' T o. T ) ) = ( g o. ( _I |` D ) ) )
44	41, 43	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> ( g o. ( `' T o. T ) ) = ( g o. ( _I |` D ) ) )
45	29	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> g : D --> R )
46		fcoi1 6078	. . . . . . . . 9 |- ( g : D --> R -> ( g o. ( _I |` D ) ) = g )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> ( g o. ( _I |` D ) ) = g )
48	44, 47	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> ( g o. ( `' T o. T ) ) = g )
49	40, 48	syl5req 2669	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> g = ( ( g o. `' T ) o. T ) )
50	49	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> ( g = ( f o. T ) <-> ( ( g o. `' T ) o. T ) = ( f o. T ) ) )
51		eqcom 2629	. . . . . 6 |- ( ( ( g o. `' T ) o. T ) = ( f o. T ) <-> ( f o. T ) = ( ( g o. `' T ) o. T ) )
52	51	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> ( ( ( g o. `' T ) o. T ) = ( f o. T ) <-> ( f o. T ) = ( ( g o. `' T ) o. T ) ) )
53		f1ofo 6144	. . . . . . 7 |- ( T : D -1-1-onto-> E -> T : D -onto-> E )
54	41, 53	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> T : D -onto-> E )
55		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> f e. A )
56	55, 8	syl6eleq 2711	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> f e. ( R ^m E ) )
57		elmapfn 7880	. . . . . . 7 |- ( f e. ( R ^m E ) -> f Fn E )
58	56, 57	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> f Fn E )
59		elmapfn 7880	. . . . . . . 8 |- ( ( g o. `' T ) e. ( R ^m E ) -> ( g o. `' T ) Fn E )
60	38, 59	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. B ) -> ( g o. `' T ) Fn E )
61	60	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> ( g o. `' T ) Fn E )
62		cocan2 6547	. . . . . 6 |- ( ( T : D -onto-> E /\ f Fn E /\ ( g o. `' T ) Fn E ) -> ( ( f o. T ) = ( ( g o. `' T ) o. T ) <-> f = ( g o. `' T ) ) )
63	54, 58, 61, 62	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> ( ( f o. T ) = ( ( g o. `' T ) o. T ) <-> f = ( g o. `' T ) ) )
64	50, 52, 63	3bitrrd 295	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> ( f = ( g o. `' T ) <-> g = ( f o. T ) ) )
65	64	anasss 679	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ g e. B ) ) -> ( f = ( g o. `' T ) <-> g = ( f o. T ) ) )
66	2, 22, 39, 65	f1o3d 29431	. 2 |- ( ph -> ( F : A -1-1-onto-> B /\ `' F = ( g e. B |-> ( g o. `' T ) ) ) )
67	66	simpld 475	1 |- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859

This theorem is referenced by:  reprpmtf1o  30704