Theorem reprpmtf1o 30704

Description: Transposing 0 and X maps representations with a condition on the first index to transpositions with the same condition on the index X. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprpmtf1o.s	|- ( ph -> S e. NN )
reprpmtf1o.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
reprpmtf1o.a	|- ( ph -> A C_ NN )
reprpmtf1o.x	|- ( ph -> X e. ( 0..^ S ) )
reprpmtf1o.o	|- O = { c e. ( A (repr ` S ) M ) | -. ( c ` 0 ) e. B }
reprpmtf1o.p	|- P = { c e. ( A (repr ` S ) M ) | -. ( c ` X ) e. B }
reprpmtf1o.t	|- T = if ( X = 0 , ( _I |` ( 0..^ S ) ) , ( (pmTrsp ` ( 0..^ S ) ) ` { X , 0 } ) )
reprpmtf1o.f	|- F = ( c e. P |-> ( c o. T ) )

Assertion

Ref	Expression
reprpmtf1o	|- ( ph -> F : P -1-1-onto-> O )

Distinct variable groups:   A, c   B, c   M, c   P, c   S, c   T, c   X, c   ph, c

Allowed substitution hints:   F( c)   O( c)

Proof of Theorem reprpmtf1o

Dummy variables a b d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- ( A ^m ( 0..^ S ) ) = ( A ^m ( 0..^ S ) )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) = ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) )
3		ovexd 6680	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0..^ S ) e. _V )
4		nnex 11026	. . . . . . 7 |- NN e. _V
5	4	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> NN e. _V )
6		reprpmtf1o.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ NN )
7	5, 6	ssexd 4805	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
8		reprpmtf1o.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. ( 0..^ S ) )
9		reprpmtf1o.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. NN )
10		lbfzo0 12507	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ( 0..^ S ) <-> S e. NN )
11	9, 10	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. ( 0..^ S ) )
12		reprpmtf1o.t	. . . . . 6 |- T = if ( X = 0 , ( _I |` ( 0..^ S ) ) , ( (pmTrsp ` ( 0..^ S ) ) ` { X , 0 } ) )
13	3, 8, 11, 12	pmtridf1o 29856	. . . . 5 |- ( ph -> T : ( 0..^ S ) -1-1-onto-> ( 0..^ S ) )
14	1, 1, 2, 3, 3, 7, 13	fmptco1f1o 29434	. . . 4 |- ( ph -> ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) : ( A ^m ( 0..^ S ) ) -1-1-onto-> ( A ^m ( 0..^ S ) ) )
15		f1of1 6136	. . . 4 |- ( ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) : ( A ^m ( 0..^ S ) ) -1-1-onto-> ( A ^m ( 0..^ S ) ) -> ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) : ( A ^m ( 0..^ S ) ) -1-1-> ( A ^m ( 0..^ S ) ) )
16	14, 15	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) : ( A ^m ( 0..^ S ) ) -1-1-> ( A ^m ( 0..^ S ) ) )
17		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = M } C_ ( A ^m ( 0..^ S ) )
18		reprpmtf1o.p	. . . . . . . . . 10 |- P = { c e. ( A (repr ` S ) M ) | -. ( c ` X ) e. B }
19	18	ssrab3 3688	. . . . . . . . 9 |- P C_ ( A (repr ` S ) M )
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P C_ ( A (repr ` S ) M ) )
21		reprpmtf1o.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
22	9	nnnn0d 11351	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. NN0 )
23	6, 21, 22	reprval 30688	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A (repr ` S ) M ) = { c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = M } )
24	20, 23	sseqtrd 3641	. . . . . . 7 |- ( ph -> P C_ { c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = M } )
25	24	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ c e. P ) -> c e. { c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = M } )
26	17, 25	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. P ) -> c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) )
27	26	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( c e. P -> c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) )
28	27	ssrdv 3609	. . 3 |- ( ph -> P C_ ( A ^m ( 0..^ S ) ) )
29		f1ores 6151	. . 3 |- ( ( ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) : ( A ^m ( 0..^ S ) ) -1-1-> ( A ^m ( 0..^ S ) ) /\ P C_ ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) -> ( ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) |` P ) : P -1-1-onto-> ( ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) " P ) )
30	16, 28, 29	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) |` P ) : P -1-1-onto-> ( ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) " P ) )
31		resmpt 5449	. . . . 5 |- ( P C_ ( A ^m ( 0..^ S ) ) -> ( ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) |` P ) = ( c e. P |-> ( c o. T ) ) )
32	28, 31	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) |` P ) = ( c e. P |-> ( c o. T ) ) )
33		reprpmtf1o.f	. . . 4 |- F = ( c e. P |-> ( c o. T ) )
34	32, 33	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( ph -> ( ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) |` P ) = F )
35		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> P = P )
36		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- d e. _V
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> d e. _V )
38	2, 37, 28	elimampt 29438	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( d e. ( ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) " P ) <-> E. c e. P d = ( c o. T ) ) )
39		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) -> d = ( c o. T ) )
40		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) : ( A ^m ( 0..^ S ) ) -1-1-onto-> ( A ^m ( 0..^ S ) ) -> ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) : ( A ^m ( 0..^ S ) ) --> ( A ^m ( 0..^ S ) ) )
41	14, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) : ( A ^m ( 0..^ S ) ) --> ( A ^m ( 0..^ S ) ) )
42	41	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) -> ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) : ( A ^m ( 0..^ S ) ) --> ( A ^m ( 0..^ S ) ) )
43	2	fmpt 6381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ( c o. T ) e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) <-> ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) : ( A ^m ( 0..^ S ) ) --> ( A ^m ( 0..^ S ) ) )
44	42, 43	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) -> A. c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ( c o. T ) e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) )
45	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) -> c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) )
46		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ( c o. T ) e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) -> ( c o. T ) e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) )
47	44, 45, 46	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) -> ( c o. T ) e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) )
48	39, 47	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) -> d e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) )
49	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> d = ( c o. T ) )
50	49	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( d ` a ) = ( ( c o. T ) ` a ) )
51		f1ofun 6139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( T : ( 0..^ S ) -1-1-onto-> ( 0..^ S ) -> Fun T )
52	13, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Fun T )
53	52	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> Fun T )
54		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> a e. ( 0..^ S ) )
55		f1odm 6141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T : ( 0..^ S ) -1-1-onto-> ( 0..^ S ) -> dom T = ( 0..^ S ) )
56	13, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> dom T = ( 0..^ S ) )
57	56	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> dom T = ( 0..^ S ) )
58	54, 57	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> a e. dom T )
59		fvco 6274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun T /\ a e. dom T ) -> ( ( c o. T ) ` a ) = ( c ` ( T ` a ) ) )
60	53, 58, 59	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( ( c o. T ) ` a ) = ( c ` ( T ` a ) ) )
61	60	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( ( c o. T ) ` a ) = ( c ` ( T ` a ) ) )
62	50, 61	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( d ` a ) = ( c ` ( T ` a ) ) )
63	62	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` ( T ` a ) ) )
64		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = ( T ` a ) -> ( c ` b ) = ( c ` ( T ` a ) ) )
65		fzofi 12773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0..^ S ) e. Fin
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ c e. P ) -> ( 0..^ S ) e. Fin )
67	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ c e. P ) -> T : ( 0..^ S ) -1-1-onto-> ( 0..^ S ) )
68		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( T ` a ) = ( T ` a ) )
69	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) -> A C_ NN )
70	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ c e. P ) -> A C_ NN )
71	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ c e. P ) -> M e. ZZ )
72	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ c e. P ) -> S e. NN0 )
73	20	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ c e. P ) -> c e. ( A (repr ` S ) M ) )
74	70, 71, 72, 73	reprf 30690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ c e. P ) -> c : ( 0..^ S ) --> A )
75	74	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) -> ( c ` b ) e. A )
76	69, 75	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) -> ( c ` b ) e. NN )
77	76	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) -> ( c ` b ) e. CC )
78	64, 66, 67, 68, 77	fsumf1o 14454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. P ) -> sum_ b e. ( 0..^ S ) ( c ` b ) = sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` ( T ` a ) ) )
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) -> sum_ b e. ( 0..^ S ) ( c ` b ) = sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` ( T ` a ) ) )
80	70, 71, 72, 73	reprsum 30691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. P ) -> sum_ b e. ( 0..^ S ) ( c ` b ) = M )
81	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) -> sum_ b e. ( 0..^ S ) ( c ` b ) = M )
82	63, 79, 81	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M )
83		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c = d -> ( c ` a ) = ( d ` a ) )
84	83	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = d -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) )
85	84	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = d -> ( sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = M <-> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M ) )
86	85	elrab 3363	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d e. { c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = M } <-> ( d e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M ) )
87	48, 82, 86	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) -> d e. { c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = M } )
88	23	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) -> ( A (repr ` S ) M ) = { c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = M } )
89	87, 88	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) -> d e. ( A (repr ` S ) M ) )
90	39	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) -> ( d ` 0 ) = ( ( c o. T ) ` 0 ) )
91	52	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) -> Fun T )
92	11, 56	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. dom T )
93	92	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) -> 0 e. dom T )
94		fvco 6274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun T /\ 0 e. dom T ) -> ( ( c o. T ) ` 0 ) = ( c ` ( T ` 0 ) ) )
95	91, 93, 94	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) -> ( ( c o. T ) ` 0 ) = ( c ` ( T ` 0 ) ) )
96	3, 8, 11, 12	pmtridfv2 29858	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( T ` 0 ) = X )
97	96	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) -> ( T ` 0 ) = X )
98	97	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) -> ( c ` ( T ` 0 ) ) = ( c ` X ) )
99		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ c e. P ) -> c e. P )
100	99, 18	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ c e. P ) -> c e. { c e. ( A (repr ` S ) M ) | -. ( c ` X ) e. B } )
101		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c e. { c e. ( A (repr ` S ) M ) | -. ( c ` X ) e. B } <-> ( c e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. ( c ` X ) e. B ) )
102	100, 101	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ c e. P ) -> ( c e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. ( c ` X ) e. B ) )
103	102	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. P ) -> -. ( c ` X ) e. B )
104	103	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) -> -. ( c ` X ) e. B )
105	98, 104	eqneltrd 2720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) -> -. ( c ` ( T ` 0 ) ) e. B )
106	95, 105	eqneltrd 2720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) -> -. ( ( c o. T ) ` 0 ) e. B )
107	90, 106	eqneltrd 2720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) -> -. ( d ` 0 ) e. B )
108	89, 107	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ c e. P ) /\ d = ( c o. T ) ) -> ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) )
109	108	r19.29an 3077	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E. c e. P d = ( c o. T ) ) -> ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) )
110	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> A C_ NN )
111	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> M e. ZZ )
112	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> S e. NN0 )
113		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> d e. ( A (repr ` S ) M ) )
114	110, 111, 112, 113	reprf 30690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> d : ( 0..^ S ) --> A )
115		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( T : ( 0..^ S ) -1-1-onto-> ( 0..^ S ) -> `' T : ( 0..^ S ) -1-1-onto-> ( 0..^ S ) )
116		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( `' T : ( 0..^ S ) -1-1-onto-> ( 0..^ S ) -> `' T : ( 0..^ S ) --> ( 0..^ S ) )
117	13, 115, 116	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> `' T : ( 0..^ S ) --> ( 0..^ S ) )
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> `' T : ( 0..^ S ) --> ( 0..^ S ) )
119		fco 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( d : ( 0..^ S ) --> A /\ `' T : ( 0..^ S ) --> ( 0..^ S ) ) -> ( d o. `' T ) : ( 0..^ S ) --> A )
120	114, 118, 119	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> ( d o. `' T ) : ( 0..^ S ) --> A )
121		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. _V /\ ( 0..^ S ) e. _V ) -> ( ( d o. `' T ) e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) <-> ( d o. `' T ) : ( 0..^ S ) --> A ) )
122	7, 3, 121	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( d o. `' T ) e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) <-> ( d o. `' T ) : ( 0..^ S ) --> A ) )
123	122	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> ( ( d o. `' T ) e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) <-> ( d o. `' T ) : ( 0..^ S ) --> A ) )
124	120, 123	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> ( d o. `' T ) e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) )
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) -> ( d o. `' T ) e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) )
126		f1ofun 6139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( `' T : ( 0..^ S ) -1-1-onto-> ( 0..^ S ) -> Fun `' T )
127	13, 115, 126	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> Fun `' T )
128	127	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> Fun `' T )
129		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> a e. ( 0..^ S ) )
130		f1odm 6141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( `' T : ( 0..^ S ) -1-1-onto-> ( 0..^ S ) -> dom `' T = ( 0..^ S ) )
131	13, 115, 130	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> dom `' T = ( 0..^ S ) )
132	131	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> dom `' T = ( 0..^ S ) )
133	129, 132	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> a e. dom `' T )
134	133	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> a e. dom `' T )
135		fvco 6274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Fun `' T /\ a e. dom `' T ) -> ( ( d o. `' T ) ` a ) = ( d ` ( `' T ` a ) ) )
136	128, 134, 135	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( ( d o. `' T ) ` a ) = ( d ` ( `' T ` a ) ) )
137	136	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( ( d o. `' T ) ` a ) = sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` ( `' T ` a ) ) )
138		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = ( `' T ` a ) -> ( d ` b ) = ( d ` ( `' T ` a ) ) )
139	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> ( 0..^ S ) e. Fin )
140	13, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> `' T : ( 0..^ S ) -1-1-onto-> ( 0..^ S ) )
141	140	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> `' T : ( 0..^ S ) -1-1-onto-> ( 0..^ S ) )
142		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( `' T ` a ) = ( `' T ` a ) )
143	110	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) -> A C_ NN )
144	114	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) -> ( d ` b ) e. A )
145	143, 144	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) -> ( d ` b ) e. NN )
146	145	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) -> ( d ` b ) e. CC )
147	138, 139, 141, 142, 146	fsumf1o 14454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> sum_ b e. ( 0..^ S ) ( d ` b ) = sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` ( `' T ` a ) ) )
148	110, 111, 112, 113	reprsum 30691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> sum_ b e. ( 0..^ S ) ( d ` b ) = M )
149	137, 147, 148	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( ( d o. `' T ) ` a ) = M )
150	149	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( ( d o. `' T ) ` a ) = M )
151		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c = ( d o. `' T ) -> ( c ` a ) = ( ( d o. `' T ) ` a ) )
152	151	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = ( d o. `' T ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = sum_ a e. ( 0..^ S ) ( ( d o. `' T ) ` a ) )
153	152	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c = ( d o. `' T ) -> ( sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = M <-> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( ( d o. `' T ) ` a ) = M ) )
154	153	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( d o. `' T ) e. { c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = M } <-> ( ( d o. `' T ) e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( ( d o. `' T ) ` a ) = M ) )
155	125, 150, 154	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) -> ( d o. `' T ) e. { c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = M } )
156	23	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) -> ( A (repr ` S ) M ) = { c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = M } )
157	155, 156	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) -> ( d o. `' T ) e. ( A (repr ` S ) M ) )
158	127	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) -> Fun `' T )
159	8, 131	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X e. dom `' T )
160	159	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) -> X e. dom `' T )
161		fvco 6274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun `' T /\ X e. dom `' T ) -> ( ( d o. `' T ) ` X ) = ( d ` ( `' T ` X ) ) )
162	158, 160, 161	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) -> ( ( d o. `' T ) ` X ) = ( d ` ( `' T ` X ) ) )
163		f1ocnvfv 6534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( T : ( 0..^ S ) -1-1-onto-> ( 0..^ S ) /\ 0 e. ( 0..^ S ) ) -> ( ( T ` 0 ) = X -> ( `' T ` X ) = 0 ) )
164	163	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T : ( 0..^ S ) -1-1-onto-> ( 0..^ S ) /\ 0 e. ( 0..^ S ) ) /\ ( T ` 0 ) = X ) -> ( `' T ` X ) = 0 )
165	13, 11, 96, 164	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( `' T ` X ) = 0 )
166	165	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) -> ( `' T ` X ) = 0 )
167	166	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) -> ( d ` ( `' T ` X ) ) = ( d ` 0 ) )
168		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) -> -. ( d ` 0 ) e. B )
169	167, 168	eqneltrd 2720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) -> -. ( d ` ( `' T ` X ) ) e. B )
170	162, 169	eqneltrd 2720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) -> -. ( ( d o. `' T ) ` X ) e. B )
171		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c = ( d o. `' T ) -> ( c ` X ) = ( ( d o. `' T ) ` X ) )
172	171	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = ( d o. `' T ) -> ( ( c ` X ) e. B <-> ( ( d o. `' T ) ` X ) e. B ) )
173	172	notbid 308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = ( d o. `' T ) -> ( -. ( c ` X ) e. B <-> -. ( ( d o. `' T ) ` X ) e. B ) )
174	173	elrab 3363	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( d o. `' T ) e. { c e. ( A (repr ` S ) M ) | -. ( c ` X ) e. B } <-> ( ( d o. `' T ) e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. ( ( d o. `' T ) ` X ) e. B ) )
175	157, 170, 174	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) -> ( d o. `' T ) e. { c e. ( A (repr ` S ) M ) | -. ( c ` X ) e. B } )
176	175, 18	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) -> ( d o. `' T ) e. P )
177	176	anasss 679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) ) -> ( d o. `' T ) e. P )
178		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) ) /\ c = ( d o. `' T ) ) -> c = ( d o. `' T ) )
179	178	coeq1d 5283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) ) /\ c = ( d o. `' T ) ) -> ( c o. T ) = ( ( d o. `' T ) o. T ) )
180	179	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) ) /\ c = ( d o. `' T ) ) -> ( d = ( c o. T ) <-> d = ( ( d o. `' T ) o. T ) ) )
181		f1ococnv1 6165	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T : ( 0..^ S ) -1-1-onto-> ( 0..^ S ) -> ( `' T o. T ) = ( _I |` ( 0..^ S ) ) )
182	13, 181	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( `' T o. T ) = ( _I |` ( 0..^ S ) ) )
183	182	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) ) -> ( `' T o. T ) = ( _I |` ( 0..^ S ) ) )
184	183	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) ) -> ( d o. ( `' T o. T ) ) = ( d o. ( _I |` ( 0..^ S ) ) ) )
185	114	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) ) -> d : ( 0..^ S ) --> A )
186		fcoi1 6078	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d : ( 0..^ S ) --> A -> ( d o. ( _I |` ( 0..^ S ) ) ) = d )
187	185, 186	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) ) -> ( d o. ( _I |` ( 0..^ S ) ) ) = d )
188	184, 187	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) ) -> d = ( d o. ( `' T o. T ) ) )
189		coass 5654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( d o. `' T ) o. T ) = ( d o. ( `' T o. T ) )
190	188, 189	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) ) -> d = ( ( d o. `' T ) o. T ) )
191	177, 180, 190	rspcedvd 3317	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) ) -> E. c e. P d = ( c o. T ) )
192	109, 191	impbida 877	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. c e. P d = ( c o. T ) <-> ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) ) )
193	38, 192	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( ph -> ( d e. ( ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) " P ) <-> ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) ) )
194		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( c = d -> ( c ` 0 ) = ( d ` 0 ) )
195	194	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( c = d -> ( ( c ` 0 ) e. B <-> ( d ` 0 ) e. B ) )
196	195	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( c = d -> ( -. ( c ` 0 ) e. B <-> -. ( d ` 0 ) e. B ) )
197	196	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( d e. { c e. ( A (repr ` S ) M ) | -. ( c ` 0 ) e. B } <-> ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. ( d ` 0 ) e. B ) )
198	193, 197	syl6bbr 278	. . . . 5 |- ( ph -> ( d e. ( ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) " P ) <-> d e. { c e. ( A (repr ` S ) M ) | -. ( c ` 0 ) e. B } ) )
199	198	eqrdv 2620	. . . 4 |- ( ph -> ( ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) " P ) = { c e. ( A (repr ` S ) M ) | -. ( c ` 0 ) e. B } )
200		reprpmtf1o.o	. . . 4 |- O = { c e. ( A (repr ` S ) M ) | -. ( c ` 0 ) e. B }
201	199, 200	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( ph -> ( ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) " P ) = O )
202	34, 35, 201	f1oeq123d 6133	. 2 |- ( ph -> ( ( ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) |` P ) : P -1-1-onto-> ( ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) |-> ( c o. T ) ) " P ) <-> F : P -1-1-onto-> O ) )
203	30, 202	mpbid 222	1 |- ( ph -> F : P -1-1-onto-> O )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   {cpr 4179   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   0cc0 9936   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465   sum_csu 14416  pmTrspcpmtr 17861  reprcrepr 30686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-pmtr 17862  df-repr 30687

This theorem is referenced by:  hgt750lema  30735