Theorem 0spth 26987

Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a simple path iff the second set contains exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 18-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0pth.v	|- V = (Vtx ` G )

Assertion

Ref	Expression
0spth	|- ( G e. W -> ( (/) (SPaths ` G ) P <-> P : ( 0 ... 0 ) --> V ) )

Proof of Theorem 0spth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0pth.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
2	1	0trl 26983	. . 3 |- ( G e. W -> ( (/) (Trails ` G ) P <-> P : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
3	2	anbi1d 741	. 2 |- ( G e. W -> ( ( (/) (Trails ` G ) P /\ Fun `' P ) <-> ( P : ( 0 ... 0 ) --> V /\ Fun `' P ) ) )
4		isspth 26620	. 2 |- ( (/) (SPaths ` G ) P <-> ( (/) (Trails ` G ) P /\ Fun `' P ) )
5		fz0sn 12439	. . . . 5 |- ( 0 ... 0 ) = { 0 }
6	5	feq2i 6037	. . . 4 |- ( P : ( 0 ... 0 ) --> V <-> P : { 0 } --> V )
7		c0ex 10034	. . . . . 6 |- 0 e. _V
8	7	fsn2 6403	. . . . 5 |- ( P : { 0 } --> V <-> ( ( P ` 0 ) e. V /\ P = { <. 0 , ( P ` 0 ) >. } ) )
9		funcnvsn 5936	. . . . . 6 |- Fun `' { <. 0 , ( P ` 0 ) >. }
10		cnveq 5296	. . . . . . 7 |- ( P = { <. 0 , ( P ` 0 ) >. } -> `' P = `' { <. 0 , ( P ` 0 ) >. } )
11	10	funeqd 5910	. . . . . 6 |- ( P = { <. 0 , ( P ` 0 ) >. } -> ( Fun `' P <-> Fun `' { <. 0 , ( P ` 0 ) >. } ) )
12	9, 11	mpbiri 248	. . . . 5 |- ( P = { <. 0 , ( P ` 0 ) >. } -> Fun `' P )
13	8, 12	simplbiim 659	. . . 4 |- ( P : { 0 } --> V -> Fun `' P )
14	6, 13	sylbi 207	. . 3 |- ( P : ( 0 ... 0 ) --> V -> Fun `' P )
15	14	pm4.71i 664	. 2 |- ( P : ( 0 ... 0 ) --> V <-> ( P : ( 0 ... 0 ) --> V /\ Fun `' P ) )
16	3, 4, 15	3bitr4g 303	1 |- ( G e. W -> ( (/) (SPaths ` G ) P <-> P : ( 0 ... 0 ) --> V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   ...cfz 12326  Vtxcvtx 25874  Trailsctrls 26587  SPathscspths 26609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-wlks 26495  df-trls 26589  df-spths 26613

This theorem is referenced by: (None)