Theorem opth1 4944

Description: Equality of the first members of equal ordered pairs. (Contributed by NM, 28-May-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opth1.1	|- A e. _V
opth1.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
opth1	|- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> A = C )

Proof of Theorem opth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opth1.1	. . . 4 |- A e. _V
2		opth1.2	. . . 4 |- B e. _V
3	1, 2	opi1 4937	. . 3 |- { A } e. <. A , B >.
4		id 22	. . 3 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> <. A , B >. = <. C , D >. )
5	3, 4	syl5eleq 2707	. 2 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> { A } e. <. C , D >. )
6	1	sneqr 4371	. . . 4 |- ( { A } = { C } -> A = C )
7	6	a1i 11	. . 3 |- ( { A } e. <. C , D >. -> ( { A } = { C } -> A = C ) )
8		oprcl 4427	. . . . . . 7 |- ( { A } e. <. C , D >. -> ( C e. _V /\ D e. _V ) )
9	8	simpld 475	. . . . . 6 |- ( { A } e. <. C , D >. -> C e. _V )
10		prid1g 4295	. . . . . 6 |- ( C e. _V -> C e. { C , D } )
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 |- ( { A } e. <. C , D >. -> C e. { C , D } )
12		eleq2 2690	. . . . 5 |- ( { A } = { C , D } -> ( C e. { A } <-> C e. { C , D } ) )
13	11, 12	syl5ibrcom 237	. . . 4 |- ( { A } e. <. C , D >. -> ( { A } = { C , D } -> C e. { A } ) )
14		elsni 4194	. . . . 5 |- ( C e. { A } -> C = A )
15	14	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( C e. { A } -> A = C )
16	13, 15	syl6 35	. . 3 |- ( { A } e. <. C , D >. -> ( { A } = { C , D } -> A = C ) )
17		id 22	. . . . 5 |- ( { A } e. <. C , D >. -> { A } e. <. C , D >. )
18		dfopg 4400	. . . . . 6 |- ( ( C e. _V /\ D e. _V ) -> <. C , D >. = { { C } , { C , D } } )
19	8, 18	syl 17	. . . . 5 |- ( { A } e. <. C , D >. -> <. C , D >. = { { C } , { C , D } } )
20	17, 19	eleqtrd 2703	. . . 4 |- ( { A } e. <. C , D >. -> { A } e. { { C } , { C , D } } )
21		elpri 4197	. . . 4 |- ( { A } e. { { C } , { C , D } } -> ( { A } = { C } \/ { A } = { C , D } ) )
22	20, 21	syl 17	. . 3 |- ( { A } e. <. C , D >. -> ( { A } = { C } \/ { A } = { C , D } ) )
23	7, 16, 22	mpjaod 396	. 2 |- ( { A } e. <. C , D >. -> A = C )
24	5, 23	syl 17	1 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> A = C )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184

This theorem is referenced by:  opth  4945  dmsnopg  5606  funcnvsn  5936  oprabid  6677  seqomlem2  7546  unxpdomlem3  8166  dfac5lem4  8949  dcomex  9269  canthwelem  9472  uzrdgfni  12757  gsum2d2  18373  poimirlem9  33418