Theorem fzoend 12559

Description: The endpoint of a half-open integer range. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoend	|- ( A e. ( A..^ B ) -> ( B - 1 ) e. ( A..^ B ) )

Proof of Theorem fzoend

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . 5 |- ( A e. ( A..^ B ) -> A e. ( A..^ B ) )
2		elfzoel2 12469	. . . . . 6 |- ( A e. ( A..^ B ) -> B e. ZZ )
3		fzoval 12471	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> ( A..^ B ) = ( A ... ( B - 1 ) ) )
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 |- ( A e. ( A..^ B ) -> ( A..^ B ) = ( A ... ( B - 1 ) ) )
5	1, 4	eleqtrd 2703	. . . 4 |- ( A e. ( A..^ B ) -> A e. ( A ... ( B - 1 ) ) )
6		elfzuz3 12339	. . . 4 |- ( A e. ( A ... ( B - 1 ) ) -> ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) )
7	5, 6	syl 17	. . 3 |- ( A e. ( A..^ B ) -> ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) )
8		eluzfz2 12349	. . 3 |- ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B - 1 ) e. ( A ... ( B - 1 ) ) )
9	7, 8	syl 17	. 2 |- ( A e. ( A..^ B ) -> ( B - 1 ) e. ( A ... ( B - 1 ) ) )
10	9, 4	eleqtrrd 2704	1 |- ( A e. ( A..^ B ) -> ( B - 1 ) e. ( A..^ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  fzo0end  12560  ssfzo12  12561  lswccatn0lsw  13373  efgsdmi  18145  efgs1b  18149  clwlkclwwlklem2  26901  fzoopth  41337