Theorem fzoopth 41337

Description: A half-open integer range can represent an ordered pair, analogous to fzopth 12378. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzoopth	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> ( ( M..^ N ) = ( J..^ K ) <-> ( M = J /\ N = K ) ) )

Proof of Theorem fzoopth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) )
2		fzolb 12476	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( M..^ N ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) )
3	1, 2	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> M e. ( M..^ N ) )
4		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> ( M..^ N ) = ( J..^ K ) )
5	3, 4	eleqtrd 2703	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> M e. ( J..^ K ) )
6		elfzouz 12474	. . . . . . 7 |- ( M e. ( J..^ K ) -> M e. ( ZZ>= ` J ) )
7		uzss 11708	. . . . . . 7 |- ( M e. ( ZZ>= ` J ) -> ( ZZ>= ` M ) C_ ( ZZ>= ` J ) )
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> ( ZZ>= ` M ) C_ ( ZZ>= ` J ) )
9	2	biimpri 218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> M e. ( M..^ N ) )
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> M e. ( M..^ N ) )
11		eleq2 2690	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M..^ N ) = ( J..^ K ) -> ( M e. ( M..^ N ) <-> M e. ( J..^ K ) ) )
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> ( M e. ( M..^ N ) <-> M e. ( J..^ K ) ) )
13	10, 12	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> M e. ( J..^ K ) )
14		elfzolt3b 12482	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( J..^ K ) -> J e. ( J..^ K ) )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> J e. ( J..^ K ) )
16	15, 4	eleqtrrd 2704	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> J e. ( M..^ N ) )
17		elfzouz 12474	. . . . . . 7 |- ( J e. ( M..^ N ) -> J e. ( ZZ>= ` M ) )
18		uzss 11708	. . . . . . 7 |- ( J e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` J ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> ( ZZ>= ` J ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
20	8, 19	eqssd 3620	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` J ) )
21		simpl1 1064	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> M e. ZZ )
22		uz11 11710	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` J ) <-> M = J ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> ( ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` J ) <-> M = J ) )
24	20, 23	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> M = J )
25		fzoend 12559	. . . . . . . . 9 |- ( J e. ( J..^ K ) -> ( K - 1 ) e. ( J..^ K ) )
26		elfzoel2 12469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K - 1 ) e. ( J..^ K ) -> K e. ZZ )
27		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J..^ K ) = ( M..^ N ) -> ( ( K - 1 ) e. ( J..^ K ) <-> ( K - 1 ) e. ( M..^ N ) ) )
28	27	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M..^ N ) = ( J..^ K ) -> ( ( K - 1 ) e. ( J..^ K ) <-> ( K - 1 ) e. ( M..^ N ) ) )
29		elfzo2 12473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K - 1 ) e. ( M..^ N ) <-> ( ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ ( K - 1 ) < N ) )
30		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ ( K - 1 ) < N ) ) -> K e. ZZ )
31		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ ( K - 1 ) < N ) ) -> N e. ZZ )
32		zlem1lt 11429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K <_ N <-> ( K - 1 ) < N ) )
33	32	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( K <_ N <-> ( K - 1 ) < N ) )
34	33	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - 1 ) < N -> K <_ N ) )
35	34	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ ( K - 1 ) < N ) -> ( K e. ZZ -> K <_ N ) )
36	35	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ ( K - 1 ) < N ) ) -> K <_ N )
37	30, 31, 36	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ ( K - 1 ) < N ) ) -> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) )
38	37	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ ( K - 1 ) < N ) -> ( K e. ZZ -> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) )
39	38	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ ( K - 1 ) < N ) -> ( K e. ZZ -> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) )
40	39	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ ( K - 1 ) < N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> ( K e. ZZ -> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) ) )
41	29, 40	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K - 1 ) e. ( M..^ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> ( K e. ZZ -> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) ) )
42	28, 41	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M..^ N ) = ( J..^ K ) -> ( ( K - 1 ) e. ( J..^ K ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> ( K e. ZZ -> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) ) ) )
43	42	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M..^ N ) = ( J..^ K ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> ( ( K - 1 ) e. ( J..^ K ) -> ( K e. ZZ -> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) ) ) )
44	43	impcom 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> ( ( K - 1 ) e. ( J..^ K ) -> ( K e. ZZ -> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) ) )
45	44	com13 88	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> ( ( K - 1 ) e. ( J..^ K ) -> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) ) )
46	26, 45	mpcom 38	. . . . . . . . 9 |- ( ( K - 1 ) e. ( J..^ K ) -> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) )
47	25, 46	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( J e. ( J..^ K ) -> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) )
48	15, 47	mpcom 38	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) )
49		eluz2 11693	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) )
50	49	biimpri 218	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
51		uzss 11708	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` K ) )
52	48, 50, 51	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` K ) )
53		fzoend 12559	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( M..^ N ) -> ( N - 1 ) e. ( M..^ N ) )
54		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M..^ N ) = ( J..^ K ) -> ( ( N - 1 ) e. ( M..^ N ) <-> ( N - 1 ) e. ( J..^ K ) ) )
55		elfzo2 12473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N - 1 ) e. ( J..^ K ) <-> ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` J ) /\ K e. ZZ /\ ( N - 1 ) < K ) )
56		pm3.2 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ZZ -> ( ( K e. ZZ /\ ( N - 1 ) < K ) -> ( N e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ ( N - 1 ) < K ) ) ) )
57	56	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> ( ( K e. ZZ /\ ( N - 1 ) < K ) -> ( N e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ ( N - 1 ) < K ) ) ) )
58	57	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ZZ /\ ( N - 1 ) < K ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> ( N e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ ( N - 1 ) < K ) ) ) )
59	58	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` J ) /\ K e. ZZ /\ ( N - 1 ) < K ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> ( N e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ ( N - 1 ) < K ) ) ) )
60	55, 59	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N - 1 ) e. ( J..^ K ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> ( N e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ ( N - 1 ) < K ) ) ) )
61	54, 60	syl6bi 243	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M..^ N ) = ( J..^ K ) -> ( ( N - 1 ) e. ( M..^ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> ( N e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ ( N - 1 ) < K ) ) ) ) )
62	61	com3l 89	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N - 1 ) e. ( M..^ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> ( ( M..^ N ) = ( J..^ K ) -> ( N e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ ( N - 1 ) < K ) ) ) ) )
63	53, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( M..^ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> ( ( M..^ N ) = ( J..^ K ) -> ( N e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ ( N - 1 ) < K ) ) ) ) )
64	9, 63	mpcom 38	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> ( ( M..^ N ) = ( J..^ K ) -> ( N e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ ( N - 1 ) < K ) ) ) )
65	64	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> ( N e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ ( N - 1 ) < K ) ) )
66		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ ( N - 1 ) < K ) ) -> N e. ZZ )
67		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ ( N - 1 ) < K ) ) -> K e. ZZ )
68		zlem1lt 11429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N <_ K <-> ( N - 1 ) < K ) )
69	68	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N <_ K <-> ( N - 1 ) < K ) )
70	69	biimprd 238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N - 1 ) < K -> N <_ K ) )
71	70	impancom 456	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ZZ /\ ( N - 1 ) < K ) -> ( N e. ZZ -> N <_ K ) )
72	71	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ ( N - 1 ) < K ) ) -> N <_ K )
73		eluz2 11693	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N <_ K ) )
74	66, 67, 72, 73	syl3anbrc 1246	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ ( N - 1 ) < K ) ) -> K e. ( ZZ>= ` N ) )
75		uzss 11708	. . . . . . 7 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ZZ>= ` K ) C_ ( ZZ>= ` N ) )
76	65, 74, 75	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> ( ZZ>= ` K ) C_ ( ZZ>= ` N ) )
77	52, 76	eqssd 3620	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> ( ZZ>= ` N ) = ( ZZ>= ` K ) )
78		simpl2 1065	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> N e. ZZ )
79		uz11 11710	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( ZZ>= ` N ) = ( ZZ>= ` K ) <-> N = K ) )
80	78, 79	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> ( ( ZZ>= ` N ) = ( ZZ>= ` K ) <-> N = K ) )
81	77, 80	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> N = K )
82	24, 81	jca 554	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> ( M = J /\ N = K ) )
83	82	ex 450	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> ( ( M..^ N ) = ( J..^ K ) -> ( M = J /\ N = K ) ) )
84		oveq12 6659	. 2 |- ( ( M = J /\ N = K ) -> ( M..^ N ) = ( J..^ K ) )
85	83, 84	impbid1 215	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> ( ( M..^ N ) = ( J..^ K ) <-> ( M = J /\ N = K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  2ffzoeq  41338