Theorem fzoval 12471

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	|- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 |- ( m = M -> m = M )
2		oveq1 6657	. . . 4 |- ( n = N -> ( n - 1 ) = ( N - 1 ) )
3	1, 2	oveqan12d 6669	. . 3 |- ( ( m = M /\ n = N ) -> ( m ... ( n - 1 ) ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
4		df-fzo 12466	. . 3 |- ..^ = ( m e. ZZ , n e. ZZ |-> ( m ... ( n - 1 ) ) )
5		ovex 6678	. . 3 |- ( M ... ( N - 1 ) ) e. _V
6	3, 4, 5	ovmpt2a 6791	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
7		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
8	7	con3i 150	. . . . 5 |- ( -. M e. ZZ -> -. ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
9		fzof 12467	. . . . . . 7 |- ..^ : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
10	9	fdmi 6052	. . . . . 6 |- dom ..^ = ( ZZ X. ZZ )
11	10	ndmov 6818	. . . . 5 |- ( -. ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M..^ N ) = (/) )
12	8, 11	syl 17	. . . 4 |- ( -. M e. ZZ -> ( M..^ N ) = (/) )
13		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> M e. ZZ )
14	13	con3i 150	. . . . 5 |- ( -. M e. ZZ -> -. ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) )
15		fzf 12330	. . . . . . 7 |- ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
16	15	fdmi 6052	. . . . . 6 |- dom ... = ( ZZ X. ZZ )
17	16	ndmov 6818	. . . . 5 |- ( -. ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( M ... ( N - 1 ) ) = (/) )
18	14, 17	syl 17	. . . 4 |- ( -. M e. ZZ -> ( M ... ( N - 1 ) ) = (/) )
19	12, 18	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( -. M e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
20	19	adantr 481	. 2 |- ( ( -. M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
21	6, 20	pm2.61ian 831	1 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   X. cxp 5112  (class class class)co 6650   1c1 9937   - cmin 10266   ZZcz 11377   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  elfzo  12472  fzon  12489  fzoss1  12495  fzoss2  12496  fz1fzo0m1  12515  fzval3  12536  fzo13pr  12552  fzo0to2pr  12553  fzo0to3tp  12554  fzo0to42pr  12555  fzo1to4tp  12556  fzoend  12559  fzofzp1b  12566  elfzom1b  12567  peano2fzor  12575  fzoshftral  12585  zmodfzo  12693  zmodidfzo  12699  fzofi  12773  hashfzo  13216  wrdffz  13326  revcl  13510  revlen  13511  revccat  13515  revrev  13516  revco  13580  fzosump1  14481  telfsumo  14534  fsumparts  14538  geoser  14599  geo2sum2  14605  dfphi2  15479  reumodprminv  15509  gsumwsubmcl  17375  gsumccat  17378  gsumwmhm  17382  efgsdmi  18145  efgs1b  18149  efgredlemf  18154  efgredlemd  18157  efgredlemc  18158  efgredlem  18160  cpmadugsumlemF  20681  advlogexp  24401  dchrisumlem1  25178  redwlklem  26568  wlkiswwlks2lem3  26757  wlkiswwlksupgr2  26763  clwlkclwwlklem2a  26899  wlk2v2e  27017  eucrct2eupth  27105  submat1n  29871  eulerpartlemd  30428  fzssfzo  30613  signstfvn  30646  bccbc  38544  monoords  39511  elfzolem1  39537  stirlinglem12  40302  iccpartiltu  41358  iccpartigtl  41359  iccpartgt  41363  pwdif  41501  pwm1geoserALT  41502  nnsum4primeseven  41688  nnsum4primesevenALTV  41689  nn0sumshdiglemA  42413  nn0sumshdiglemB  42414