MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfzo12 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem ssfzo12 12561
Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfzo12 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
Proof of Theorem ssfzo12
StepHypRef Expression
1 fzolb2 12477 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( K e. ( K..^ L ) <-> K < L ) )
21biimp3ar 1433 . 2 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> K e. ( K..^ L ) )
3 fzoend 12559 . . 3 |- ( K e. ( K..^ L ) -> ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) )
4 ssel2 3598 . . . . . . 7 |- ( ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) /\ K e. ( K..^ L ) ) -> K e. ( M..^ N ) )
5 ssel2 3598 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) /\ ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) ) -> ( L - 1 ) e. ( M..^ N ) )
6 elfzolt2 12479 . . . . . . . . . 10 |- ( ( L - 1 ) e. ( M..^ N ) -> ( L - 1 ) < N )
7 simp2 1062 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> L e. ZZ )
8 elfzoel2 12469 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( M..^ N ) -> N e. ZZ )
9 zlem1lt 11429 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( L <_ N <-> ( L - 1 ) < N ) )
107, 8, 9syl2anr 495 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( M..^ N ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) ) -> ( L <_ N <-> ( L - 1 ) < N ) )
11 elfzole1 12478 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( M..^ N ) -> M <_ K )
12 pm3.2 463 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M <_ K -> ( L <_ N -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( M..^ N ) -> ( L <_ N -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
1413adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( M..^ N ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) ) -> ( L <_ N -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
1510, 14sylbird 250 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( M..^ N ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) ) -> ( ( L - 1 ) < N -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
1615ex 450 . . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( M..^ N ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( L - 1 ) < N -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) )
1716com13 88 . . . . . . . . . 10 |- ( ( L - 1 ) < N -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( K e. ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) )
185, 6, 173syl 18 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) /\ ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( K e. ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) )
1918ex 450 . . . . . . . 8 |- ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( K e. ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
2019com24 95 . . . . . . 7 |- ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( K e. ( M..^ N ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
214, 20syl5com 31 . . . . . 6 |- ( ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) /\ K e. ( K..^ L ) ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
2221ex 450 . . . . 5 |- ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( K e. ( K..^ L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) ) )
2322pm2.43a 54 . . . 4 |- ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( K e. ( K..^ L ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
2423com14 96 . . 3 |- ( ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) -> ( K e. ( K..^ L ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
253, 24mpcom 38 . 2 |- ( K e. ( K..^ L ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) )
262, 25mpcom 38 1 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   C_ wss 3574   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466
This theorem is referenced by:  ssfzoulel  12562  ssfzo12bi  12563
  Copyright terms: Public domain W3C validator