clwlkclwwlklem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwlkclwwlklem2 26901

Description: Lemma 2 for clwlkclwwlk 26903. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
clwlkclwwlklem2	$/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ lastS $/\$ ..^ $/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem clwlkclwwlklem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1fn 6102	. . . 4
2		dffn3 6054	. . . 4
3	1, 2	sylib 208	. . 3
4		lencl 13324	. . . . . . . . . . 11 Word
5		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11
6		fnfz0hash 13230	. . . . . . . . . . 11 $/\$
7	4, 5, 6	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 Word $/\$
8		ffz0iswrd 13332	. . . . . . . . . . . . . 14 Word
9		lsw 13351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word lastS
10	9	ad6antr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ lastS
11		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12	11	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13	12	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$
14		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
15		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
16		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
17	15, 16	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
18	17	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
19	18	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20	19	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21	20	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22	21	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23	14, 22	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24	23	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$
25	24	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$
26	10, 13, 25	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ lastS
27		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
28		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
30		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
31	30	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
32		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
33	29, 27, 31, 32	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
34	33	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35		fzoss2 12496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^
36		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^ ..^ ..^
37	34, 35, 36	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
38		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
40		wrdf 13310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Word ..^
41		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ..^ $/\$ $/\$ ..^ ..^
42		fzossrbm1 12497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ..^ ..^
43	27, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ..^ ..^
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ..^ $/\$ ..^ ..^
45	44	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ..^ $/\$ $/\$ ..^ ..^
46	41, 45	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^ $/\$ $/\$ ..^
47	46	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^ ..^
48	40, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Word ..^
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Word $/\$ Word ..^
50	49	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Word $/\$ Word $/\$ ..^
51	50	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
52	51	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
53	39, 52	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
54		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
55	54	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
56	55	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
57	53, 56	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
58	57	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
59	37, 58	syldc 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ $/\$ Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
61	60	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ ..^
62		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
63	62	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Word $/\$ Word $/\$ $/\$
64		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
66		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
67	65, 66, 30	lesubaddd 10624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
68		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
69	68	breq1i 4660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
70		elnnnn0c 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
71	70	simplbi2 655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
72	69, 71	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
73	67, 72	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Word $/\$ Word $/\$
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Word $/\$ Word $/\$ $/\$
76	63, 75	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Word $/\$ Word $/\$ $/\$
77	76	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79		lbfzo0 12507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^
80	78, 79	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
81		fzoend 12559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^ ..^
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
83		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
84	83	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
85		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
86		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
87	86	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
88	85, 87	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
89	84, 88	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
90	89	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	82, 90	rspcdv 3312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
92	15, 16	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
93	92	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	93	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	94	preq2d 4275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	95	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	40	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^
98	73	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
99	62, 98	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
100	99	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
101	100	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Word $/\$ Word $/\$
102	101	imp31 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$
103	102, 79	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^
104	103, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^
105	97, 104	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	38, 106	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
109	108	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
110	109	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
111	107, 110	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	96, 111	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	91, 112	syldc 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ $/\$ Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	114	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$
116		preq2 4269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
117	116	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118	117	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ $/\$
119	118	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$
120	115, 119	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$
121	26, 61, 120	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ lastS $/\$ ..^ $/\$
122	121	exp41 638	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ ..^ $/\$ lastS $/\$ ..^ $/\$
123	122	exp41 638	. . . . . . . . . . . . . 14 Word Word ..^ $/\$ lastS $/\$ ..^ $/\$
124	8, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 Word ..^ $/\$ lastS $/\$ ..^ $/\$
125	124	com13 88	. . . . . . . . . . . 12 Word ..^ $/\$ lastS $/\$ ..^ $/\$
126	4, 125	mpcom 38	. . . . . . . . . . 11 Word ..^ $/\$ lastS $/\$ ..^ $/\$
127	126	imp 445	. . . . . . . . . 10 Word $/\$ ..^ $/\$ lastS $/\$ ..^ $/\$
128	7, 127	mpd 15	. . . . . . . . 9 Word $/\$ ..^ $/\$ lastS $/\$ ..^ $/\$
129	128	expcom 451	. . . . . . . 8 Word ..^ $/\$ lastS $/\$ ..^ $/\$
130	129	com14 96	. . . . . . 7 Word ..^ $/\$ lastS $/\$ ..^ $/\$
131	130	imp 445	. . . . . 6 $/\$ Word ..^ $/\$ lastS $/\$ ..^ $/\$
132	131	com13 88	. . . . 5 $/\$ Word ..^ $/\$ lastS $/\$ ..^ $/\$
133	132	imp 445	. . . 4 $/\$ $/\$ Word ..^ $/\$ lastS $/\$ ..^ $/\$
134	133	com12 32	. . 3 $/\$ Word $/\$ ..^ $/\$ lastS $/\$ ..^ $/\$
135	3, 134	sylan 488	. 2 $/\$ Word $/\$ ..^ $/\$ lastS $/\$ ..^ $/\$
136	135	3imp 1256	1 $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ lastS $/\$ ..^ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

wss 3574

cpr 4179 class class class wbr 4653

cdm 5114

crn 5115

wfn 5883

wf 5884

wf1 5885

cfv 5888 (class class class)co 6650

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326 ..^cfzo 12465

chash 13117 Word cword 13291 lastS clsw 13292

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-lsw 13300

This theorem is referenced by: clwlkclwwlklem3 26902 clwlksfclwwlk 26962

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