Theorem fzof 12467

Description: Functionality of the half-open integer set function. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzof	|- ..^ : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ

Proof of Theorem fzof

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzssuz 12382	. . . . 5 |- ( m ... ( n - 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` m )
2		uzssz 11707	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` m ) C_ ZZ
3	1, 2	sstri 3612	. . . 4 |- ( m ... ( n - 1 ) ) C_ ZZ
4		ovex 6678	. . . . 5 |- ( m ... ( n - 1 ) ) e. _V
5	4	elpw 4164	. . . 4 |- ( ( m ... ( n - 1 ) ) e. ~P ZZ <-> ( m ... ( n - 1 ) ) C_ ZZ )
6	3, 5	mpbir 221	. . 3 |- ( m ... ( n - 1 ) ) e. ~P ZZ
7	6	rgen2w 2925	. 2 |- A. m e. ZZ A. n e. ZZ ( m ... ( n - 1 ) ) e. ~P ZZ
8		df-fzo 12466	. . 3 |- ..^ = ( m e. ZZ , n e. ZZ |-> ( m ... ( n - 1 ) ) )
9	8	fmpt2 7237	. 2 |- ( A. m e. ZZ A. n e. ZZ ( m ... ( n - 1 ) ) e. ~P ZZ <-> ..^ : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ )
10	7, 9	mpbi 220	1 |- ..^ : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ

Syntax hints:   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  elfzoel1  12468  elfzoel2  12469  elfzoelz  12470  fzoval  12471  fzofi  12773