Theorem uzssz 11707

Description: An upper set of integers is a subset of all integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzssz	|- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ

Proof of Theorem uzssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 11690	. . . . 5 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
2	1	ffvelrni 6358	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) e. ~P ZZ )
3	2	elpwid 4170	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ )
4	1	fdmi 6052	. . 3 |- dom ZZ>= = ZZ
5	3, 4	eleq2s 2719	. 2 |- ( M e. dom ZZ>= -> ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ )
6		ndmfv 6218	. . 3 |- ( -. M e. dom ZZ>= -> ( ZZ>= ` M ) = (/) )
7		0ss 3972	. . 3 |- (/) C_ ZZ
8	6, 7	syl6eqss 3655	. 2 |- ( -. M e. dom ZZ>= -> ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ )
9	5, 8	pm2.61i 176	1 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 1990   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   dom cdm 5114   ` cfv 5888   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  uzwo  11751  uzwo2  11752  infssuzle  11771  infssuzcl  11772  uzsupss  11780  uzwo3  11783  fzof  12467  uzsup  12662  cau3  14095  caubnd  14098  limsupgre  14212  rlimclim  14277  climz  14280  climaddc1  14365  climmulc2  14367  climsubc1  14368  climsubc2  14369  climlec2  14389  isercolllem1  14395  isercolllem2  14396  isercoll  14398  caurcvg  14407  caucvg  14409  iseraltlem1  14412  iseraltlem2  14413  iseraltlem3  14414  summolem2a  14446  summolem2  14447  zsum  14449  fsumcvg3  14460  climfsum  14552  divcnvshft  14587  clim2prod  14620  ntrivcvg  14629  ntrivcvgfvn0  14631  ntrivcvgtail  14632  ntrivcvgmullem  14633  ntrivcvgmul  14634  prodrblem  14659  prodmolem2a  14664  prodmolem2  14665  zprod  14667  4sqlem11  15659  gsumval3  18308  lmbrf  21064  lmres  21104  uzrest  21701  uzfbas  21702  lmflf  21809  lmmbrf  23060  iscau4  23077  iscauf  23078  caucfil  23081  lmclimf  23102  mbfsup  23431  mbflimsup  23433  ig1pdvds  23936  ulmval  24134  ulmpm  24137  2sqlem6  25148  ballotlemfc0  30554  ballotlemfcc  30555  ballotlemiex  30563  ballotlemsdom  30573  ballotlemsima  30577  ballotlemrv2  30583  breprexplemc  30710  erdszelem4  31176  erdszelem8  31180  caures  33556  diophin  37336  irrapxlem1  37386  monotuz  37506  hashnzfzclim  38521  uzmptshftfval  38545  uzct  39232  uzfissfz  39542  ssuzfz  39565  uzssre  39620  uzssre2  39633  uzssz2  39685  uzinico2  39789  fnlimfvre  39906  climleltrp  39908  limsupequzmpt2  39950  limsupequzlem  39954  liminfequzmpt2  40023  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  sge0isum  40644  smflimlem1  40979  smflimlem2  40980  smflim  40985