Theorem elfzoelz 12470

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	|- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 12468	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
2		elfzoel2 12469	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
3		fzof 12467	. . . . 5 |- ..^ : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
4	3	fovcl 6765	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
5	1, 2, 4	syl2anc 693	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
6	5	elpwid 4170	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) C_ ZZ )
7		id 22	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ( B..^ C ) )
8	6, 7	sseldd 3604	1 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   ~Pcpw 4158  (class class class)co 6650   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  elfzo2  12473  elfzole1  12478  elfzolt2  12479  elfzolt3  12480  elfzolt2b  12481  elfzouz2  12484  fzonnsub  12493  fzospliti  12500  fzodisj  12502  fzodisjsn  12505  fzonmapblen  12513  fzoaddel  12520  elincfzoext  12525  fzosubel  12526  elfzom1elp1fzo1  12568  elfzo1elm1fzo0  12569  elfznelfzob  12574  modaddmodup  12733  modaddmodlo  12734  modfzo0difsn  12742  modsumfzodifsn  12743  addmodlteq  12745  wrdexg  13315  ccatval3  13363  ccatlid  13369  ccatass  13371  ccatrn  13372  ccatalpha  13375  swrd0val  13421  swrdid  13428  swrd0fv  13439  swrdfv2  13446  swrds1  13451  ccatswrd  13456  swrdswrd  13460  swrdccatin12lem2a  13485  swrdccatin2  13487  swrdccatin12lem2  13489  splfv1  13506  splfv2a  13507  revccat  13515  revrev  13516  repswrevw  13533  cshwidxmod  13549  cshwidxmodr  13550  cshwidx0  13552  cshwidxm1  13553  cshweqrep  13567  cshw1  13568  cshimadifsn  13575  cshimadifsn0  13576  cshco  13582  fzomaxdiflem  14082  fzomaxdif  14083  fzo0dvdseq  15045  fzocongeq  15046  addmodlteqALT  15047  crth  15483  phimullem  15484  eulerthlem1  15486  eulerthlem2  15487  hashgcdlem  15493  hashgcdeq  15494  phisum  15495  reumodprminv  15509  modprm0  15510  nnnn0modprm0  15511  modprmn0modprm0  15512  prmgaplem7  15761  cshwshashlem2  15803  cshwshashlem3  15804  cshwrepswhash1  15809  psgnunilem5  17914  odf1o2  17988  odngen  17992  efgsp1  18150  efgsres  18151  znf1o  19900  zntoslem  19905  znunithash  19913  dvfsumle  23784  dvfsumabs  23786  dchrisumlem1  25178  dchrisumlem2  25179  dchrisum  25181  pntlemq  25290  pntlemr  25291  pntlemj  25292  pntlemi  25293  pntlemf  25294  wlk1walk  26535  pthdadjvtx  26626  crctcshwlkn0lem3  26704  crctcshwlkn0lem4  26705  crctcshwlkn0lem5  26706  crctcshwlkn0lem6  26707  crctcshlem2  26710  crctcshwlkn0  26713  crctcshtrl  26715  crctcsh  26716  clwwisshclwwslem  26927  clwwisshclwws  26928  eucrctshift  27103  eucrct2eupth  27105  signsvfn  30659  poimirlem8  33417  poimirlem18  33427  poimirlem21  33430  poimirlem22  33431  poimirlem24  33433  elfzop1le2  39502  iblspltprt  40189  itgspltprt  40195  stoweidlem3  40220  fourierdlem12  40336  fourierdlem20  40344  fourierdlem46  40369  fourierdlem50  40373  fourierdlem54  40377  fourierdlem63  40386  fourierdlem64  40387  fourierdlem65  40388  fourierdlem76  40399  fourierdlem79  40402  fourierdlem102  40425  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem114  40437  iundjiun  40677  carageniuncllem1  40735  caratheodorylem1  40740  iccpartipre  41357  iccpartiltu  41358  iccpartigtl  41359  iccpartgt  41363  icceuelpartlem  41371  icceuelpart  41372  iccpartnel  41374  fargshiftf1  41377  pfxfv  41399  ccatpfx  41409  pfxccatin12lem2  41424  pwdif  41501  pwm1geoserALT  41502  bgoldbtbndlem2  41694  m1modmmod  42316  fllog2  42362  nn0sumshdiglemA  42413  nn0sumshdiglemB  42414  nn0mullong  42419