Theorem gicabl 37669

Description: Being Abelian is a group invariant. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gicabl	|- ( G ~=g𝑔 H -> ( G e. Abel <-> H e. Abel ) )

Proof of Theorem gicabl

Dummy variables w v x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgic 17711	. 2 |- ( G ~=g𝑔 H <-> ( G GrpIso H ) =/= (/) )
2		n0 3931	. . 3 |- ( ( G GrpIso H ) =/= (/) <-> E. x x e. ( G GrpIso H ) )
3		gimghm 17706	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> x e. ( G GrpHom H ) )
4		ghmgrp1 17662	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( G GrpHom H ) -> G e. Grp )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> G e. Grp )
6		ghmgrp2 17663	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( G GrpHom H ) -> H e. Grp )
7	3, 6	syl 17	. . . . . . 7 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> H e. Grp )
8	5, 7	2thd 255	. . . . . 6 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> ( G e. Grp <-> H e. Grp ) )
9		grpmnd 17429	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
10	5, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> G e. Mnd )
11		grpmnd 17429	. . . . . . . . . 10 |- ( H e. Grp -> H e. Mnd )
12	7, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> H e. Mnd )
13	10, 12	2thd 255	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> ( G e. Mnd <-> H e. Mnd ) )
14		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
15		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
16	14, 15	gimf1o 17705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> x : ( Base ` G ) -1-1-onto-> ( Base ` H ) )
17		f1of1 6136	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x : ( Base ` G ) -1-1-onto-> ( Base ` H ) -> x : ( Base ` G ) -1-1-> ( Base ` H ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> x : ( Base ` G ) -1-1-> ( Base ` H ) )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( G GrpIso H ) /\ ( y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) ) -> x : ( Base ` G ) -1-1-> ( Base ` H ) )
20	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( G GrpIso H ) /\ ( y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) ) -> G e. Grp )
21		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( G GrpIso H ) /\ ( y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) ) -> y e. ( Base ` G ) )
22		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( G GrpIso H ) /\ ( y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) ) -> z e. ( Base ` G ) )
23		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
24	14, 23	grpcl 17430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. ( Base ` G ) )
25	20, 21, 22, 24	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( G GrpIso H ) /\ ( y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. ( Base ` G ) )
26	14, 23	grpcl 17430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ z e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) -> ( z ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) )
27	20, 22, 21, 26	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( G GrpIso H ) /\ ( y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) ) -> ( z ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) )
28		f1fveq 6519	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x : ( Base ` G ) -1-1-> ( Base ` H ) /\ ( ( y ( +g ` G ) z ) e. ( Base ` G ) /\ ( z ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( x ` ( y ( +g ` G ) z ) ) = ( x ` ( z ( +g ` G ) y ) ) <-> ( y ( +g ` G ) z ) = ( z ( +g ` G ) y ) ) )
29	19, 25, 27, 28	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( G GrpIso H ) /\ ( y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( x ` ( y ( +g ` G ) z ) ) = ( x ` ( z ( +g ` G ) y ) ) <-> ( y ( +g ` G ) z ) = ( z ( +g ` G ) y ) ) )
30	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( G GrpIso H ) /\ ( y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) ) -> x e. ( G GrpHom H ) )
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( +g ` H ) = ( +g ` H )
32	14, 23, 31	ghmlin 17665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( G GrpHom H ) /\ y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) -> ( x ` ( y ( +g ` G ) z ) ) = ( ( x ` y ) ( +g ` H ) ( x ` z ) ) )
33	30, 21, 22, 32	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( G GrpIso H ) /\ ( y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) ) -> ( x ` ( y ( +g ` G ) z ) ) = ( ( x ` y ) ( +g ` H ) ( x ` z ) ) )
34	14, 23, 31	ghmlin 17665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( G GrpHom H ) /\ z e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) -> ( x ` ( z ( +g ` G ) y ) ) = ( ( x ` z ) ( +g ` H ) ( x ` y ) ) )
35	30, 22, 21, 34	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( G GrpIso H ) /\ ( y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) ) -> ( x ` ( z ( +g ` G ) y ) ) = ( ( x ` z ) ( +g ` H ) ( x ` y ) ) )
36	33, 35	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( G GrpIso H ) /\ ( y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( x ` ( y ( +g ` G ) z ) ) = ( x ` ( z ( +g ` G ) y ) ) <-> ( ( x ` y ) ( +g ` H ) ( x ` z ) ) = ( ( x ` z ) ( +g ` H ) ( x ` y ) ) ) )
37	29, 36	bitr3d 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( G GrpIso H ) /\ ( y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) = ( z ( +g ` G ) y ) <-> ( ( x ` y ) ( +g ` H ) ( x ` z ) ) = ( ( x ` z ) ( +g ` H ) ( x ` y ) ) ) )
38	37	2ralbidva 2988	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> ( A. y e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) = ( z ( +g ` G ) y ) <-> A. y e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ` y ) ( +g ` H ) ( x ` z ) ) = ( ( x ` z ) ( +g ` H ) ( x ` y ) ) ) )
39		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x : ( Base ` G ) -1-1-onto-> ( Base ` H ) -> x : ( Base ` G ) -onto-> ( Base ` H ) )
40		foima 6120	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x : ( Base ` G ) -onto-> ( Base ` H ) -> ( x " ( Base ` G ) ) = ( Base ` H ) )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x : ( Base ` G ) -1-1-onto-> ( Base ` H ) -> ( x " ( Base ` G ) ) = ( Base ` H ) )
42	16, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> ( x " ( Base ` G ) ) = ( Base ` H ) )
43	42	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> ( A. v e. ( x " ( Base ` G ) ) ( ( x ` y ) ( +g ` H ) v ) = ( v ( +g ` H ) ( x ` y ) ) <-> A. v e. ( Base ` H ) ( ( x ` y ) ( +g ` H ) v ) = ( v ( +g ` H ) ( x ` y ) ) ) )
44		f1ofn 6138	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x : ( Base ` G ) -1-1-onto-> ( Base ` H ) -> x Fn ( Base ` G ) )
45	16, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> x Fn ( Base ` G ) )
46		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` G ) C_ ( Base ` G )
47		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = ( x ` z ) -> ( ( x ` y ) ( +g ` H ) v ) = ( ( x ` y ) ( +g ` H ) ( x ` z ) ) )
48		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = ( x ` z ) -> ( v ( +g ` H ) ( x ` y ) ) = ( ( x ` z ) ( +g ` H ) ( x ` y ) ) )
49	47, 48	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = ( x ` z ) -> ( ( ( x ` y ) ( +g ` H ) v ) = ( v ( +g ` H ) ( x ` y ) ) <-> ( ( x ` y ) ( +g ` H ) ( x ` z ) ) = ( ( x ` z ) ( +g ` H ) ( x ` y ) ) ) )
50	49	ralima 6498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x Fn ( Base ` G ) /\ ( Base ` G ) C_ ( Base ` G ) ) -> ( A. v e. ( x " ( Base ` G ) ) ( ( x ` y ) ( +g ` H ) v ) = ( v ( +g ` H ) ( x ` y ) ) <-> A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ` y ) ( +g ` H ) ( x ` z ) ) = ( ( x ` z ) ( +g ` H ) ( x ` y ) ) ) )
51	45, 46, 50	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> ( A. v e. ( x " ( Base ` G ) ) ( ( x ` y ) ( +g ` H ) v ) = ( v ( +g ` H ) ( x ` y ) ) <-> A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ` y ) ( +g ` H ) ( x ` z ) ) = ( ( x ` z ) ( +g ` H ) ( x ` y ) ) ) )
52	43, 51	bitr3d 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> ( A. v e. ( Base ` H ) ( ( x ` y ) ( +g ` H ) v ) = ( v ( +g ` H ) ( x ` y ) ) <-> A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ` y ) ( +g ` H ) ( x ` z ) ) = ( ( x ` z ) ( +g ` H ) ( x ` y ) ) ) )
53	52	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> ( A. y e. ( Base ` G ) A. v e. ( Base ` H ) ( ( x ` y ) ( +g ` H ) v ) = ( v ( +g ` H ) ( x ` y ) ) <-> A. y e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ` y ) ( +g ` H ) ( x ` z ) ) = ( ( x ` z ) ( +g ` H ) ( x ` y ) ) ) )
54	38, 53	bitr4d 271	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> ( A. y e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) = ( z ( +g ` G ) y ) <-> A. y e. ( Base ` G ) A. v e. ( Base ` H ) ( ( x ` y ) ( +g ` H ) v ) = ( v ( +g ` H ) ( x ` y ) ) ) )
55	42	raleqdv 3144	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> ( A. w e. ( x " ( Base ` G ) ) A. v e. ( Base ` H ) ( w ( +g ` H ) v ) = ( v ( +g ` H ) w ) <-> A. w e. ( Base ` H ) A. v e. ( Base ` H ) ( w ( +g ` H ) v ) = ( v ( +g ` H ) w ) ) )
56		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( x ` y ) -> ( w ( +g ` H ) v ) = ( ( x ` y ) ( +g ` H ) v ) )
57		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( x ` y ) -> ( v ( +g ` H ) w ) = ( v ( +g ` H ) ( x ` y ) ) )
58	56, 57	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( x ` y ) -> ( ( w ( +g ` H ) v ) = ( v ( +g ` H ) w ) <-> ( ( x ` y ) ( +g ` H ) v ) = ( v ( +g ` H ) ( x ` y ) ) ) )
59	58	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( x ` y ) -> ( A. v e. ( Base ` H ) ( w ( +g ` H ) v ) = ( v ( +g ` H ) w ) <-> A. v e. ( Base ` H ) ( ( x ` y ) ( +g ` H ) v ) = ( v ( +g ` H ) ( x ` y ) ) ) )
60	59	ralima 6498	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x Fn ( Base ` G ) /\ ( Base ` G ) C_ ( Base ` G ) ) -> ( A. w e. ( x " ( Base ` G ) ) A. v e. ( Base ` H ) ( w ( +g ` H ) v ) = ( v ( +g ` H ) w ) <-> A. y e. ( Base ` G ) A. v e. ( Base ` H ) ( ( x ` y ) ( +g ` H ) v ) = ( v ( +g ` H ) ( x ` y ) ) ) )
61	45, 46, 60	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> ( A. w e. ( x " ( Base ` G ) ) A. v e. ( Base ` H ) ( w ( +g ` H ) v ) = ( v ( +g ` H ) w ) <-> A. y e. ( Base ` G ) A. v e. ( Base ` H ) ( ( x ` y ) ( +g ` H ) v ) = ( v ( +g ` H ) ( x ` y ) ) ) )
62	55, 61	bitr3d 270	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> ( A. w e. ( Base ` H ) A. v e. ( Base ` H ) ( w ( +g ` H ) v ) = ( v ( +g ` H ) w ) <-> A. y e. ( Base ` G ) A. v e. ( Base ` H ) ( ( x ` y ) ( +g ` H ) v ) = ( v ( +g ` H ) ( x ` y ) ) ) )
63	54, 62	bitr4d 271	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> ( A. y e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) = ( z ( +g ` G ) y ) <-> A. w e. ( Base ` H ) A. v e. ( Base ` H ) ( w ( +g ` H ) v ) = ( v ( +g ` H ) w ) ) )
64	13, 63	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> ( ( G e. Mnd /\ A. y e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) = ( z ( +g ` G ) y ) ) <-> ( H e. Mnd /\ A. w e. ( Base ` H ) A. v e. ( Base ` H ) ( w ( +g ` H ) v ) = ( v ( +g ` H ) w ) ) ) )
65	14, 23	iscmn 18200	. . . . . . 7 |- ( G e. CMnd <-> ( G e. Mnd /\ A. y e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) = ( z ( +g ` G ) y ) ) )
66	15, 31	iscmn 18200	. . . . . . 7 |- ( H e. CMnd <-> ( H e. Mnd /\ A. w e. ( Base ` H ) A. v e. ( Base ` H ) ( w ( +g ` H ) v ) = ( v ( +g ` H ) w ) ) )
67	64, 65, 66	3bitr4g 303	. . . . . 6 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> ( G e. CMnd <-> H e. CMnd ) )
68	8, 67	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> ( ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) <-> ( H e. Grp /\ H e. CMnd ) ) )
69		isabl 18197	. . . . 5 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
70		isabl 18197	. . . . 5 |- ( H e. Abel <-> ( H e. Grp /\ H e. CMnd ) )
71	68, 69, 70	3bitr4g 303	. . . 4 |- ( x e. ( G GrpIso H ) -> ( G e. Abel <-> H e. Abel ) )
72	71	exlimiv 1858	. . 3 |- ( E. x x e. ( G GrpIso H ) -> ( G e. Abel <-> H e. Abel ) )
73	2, 72	sylbi 207	. 2 |- ( ( G GrpIso H ) =/= (/) -> ( G e. Abel <-> H e. Abel ) )
74	1, 73	sylbi 207	1 |- ( G ~=g𝑔 H -> ( G e. Abel <-> H e. Abel ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   "cima 5117   Fn wfn 5883   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422   GrpHom cghm 17657   GrpIso cgim 17699   ~=g_𝑔 cgic 17700  CMndccmn 18193   Abelcabl 18194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-1o 7560  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-gic 17702  df-cmn 18195  df-abl 18196

This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem1  37671