Theorem trlord 35857

Description: The ordering of two Hilbert lattice elements (under the fiducial hyperplane W) is determined by the translations whose traces are under them. (Contributed by NM, 3-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlord.b	|- B = ( Base ` K )
trlord.l	|- .<_ = ( le ` K )
trlord.a	|- A = ( Atoms ` K )
trlord.h	|- H = ( LHyp ` K )
trlord.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
trlord.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
trlord	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( X .<_ Y <-> A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) ) )

Distinct variable groups:   .<_ , f   B, f   f, H   f, K   R, f   T, f   f, W   f, X   f, Y

Allowed substitution hint:   A( f)

Proof of Theorem trlord

Dummy variables g u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlord.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
2		trlord.l	. . . . 5 |- .<_ = ( le ` K )
3		simpl1l 1112	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( X .<_ Y /\ f e. T ) /\ ( R ` f ) .<_ X ) ) -> K e. HL )
4		hllat 34650	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( X .<_ Y /\ f e. T ) /\ ( R ` f ) .<_ X ) ) -> K e. Lat )
6		simpl1 1064	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( X .<_ Y /\ f e. T ) /\ ( R ` f ) .<_ X ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
7		simprlr 803	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( X .<_ Y /\ f e. T ) /\ ( R ` f ) .<_ X ) ) -> f e. T )
8		trlord.h	. . . . . . 7 |- H = ( LHyp ` K )
9		trlord.t	. . . . . . 7 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
10		trlord.r	. . . . . . 7 |- R = ( ( trL ` K ) ` W )
11	1, 8, 9, 10	trlcl 35451	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ f e. T ) -> ( R ` f ) e. B )
12	6, 7, 11	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( X .<_ Y /\ f e. T ) /\ ( R ` f ) .<_ X ) ) -> ( R ` f ) e. B )
13		simpl2l 1114	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( X .<_ Y /\ f e. T ) /\ ( R ` f ) .<_ X ) ) -> X e. B )
14		simpl3l 1116	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( X .<_ Y /\ f e. T ) /\ ( R ` f ) .<_ X ) ) -> Y e. B )
15		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( X .<_ Y /\ f e. T ) /\ ( R ` f ) .<_ X ) ) -> ( R ` f ) .<_ X )
16		simprll 802	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( X .<_ Y /\ f e. T ) /\ ( R ` f ) .<_ X ) ) -> X .<_ Y )
17	1, 2, 5, 12, 13, 14, 15, 16	lattrd 17058	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( X .<_ Y /\ f e. T ) /\ ( R ` f ) .<_ X ) ) -> ( R ` f ) .<_ Y )
18	17	exp44 641	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( X .<_ Y -> ( f e. T -> ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) ) ) )
19	18	ralrimdv 2968	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( X .<_ Y -> A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) ) )
20		simp11l 1172	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) /\ u e. A ) /\ u .<_ X ) -> K e. HL )
21	20, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) /\ u e. A ) /\ u .<_ X ) -> K e. Lat )
22		simp2r 1088	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) /\ u e. A ) /\ u .<_ X ) -> u e. A )
23		trlord.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = ( Atoms ` K )
24	1, 23	atbase 34576	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. A -> u e. B )
25	22, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) /\ u e. A ) /\ u .<_ X ) -> u e. B )
26		simp12l 1174	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) /\ u e. A ) /\ u .<_ X ) -> X e. B )
27		simp11r 1173	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) /\ u e. A ) /\ u .<_ X ) -> W e. H )
28	1, 8	lhpbase 35284	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. H -> W e. B )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) /\ u e. A ) /\ u .<_ X ) -> W e. B )
30		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) /\ u e. A ) /\ u .<_ X ) -> u .<_ X )
31		simp12r 1175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) /\ u e. A ) /\ u .<_ X ) -> X .<_ W )
32	1, 2, 21, 25, 26, 29, 30, 31	lattrd 17058	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) /\ u e. A ) /\ u .<_ X ) -> u .<_ W )
33	32, 30	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) /\ u e. A ) /\ u .<_ X ) -> ( u .<_ W /\ u .<_ X ) )
34	33	3expia 1267	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) /\ u e. A ) ) -> ( u .<_ X -> ( u .<_ W /\ u .<_ X ) ) )
35		simp11 1091	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) /\ u e. A ) /\ u .<_ W ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
36		simp2r 1088	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) /\ u e. A ) /\ u .<_ W ) -> u e. A )
37		simp3 1063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) /\ u e. A ) /\ u .<_ W ) -> u .<_ W )
38	2, 23, 8, 9, 10	cdlemf 35851	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( u e. A /\ u .<_ W ) ) -> E. g e. T ( R ` g ) = u )
39	35, 36, 37, 38	syl12anc 1324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) /\ u e. A ) /\ u .<_ W ) -> E. g e. T ( R ` g ) = u )
40		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) /\ u e. A ) /\ u .<_ W ) -> A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) )
41		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( R ` f ) = ( R ` g ) )
42	41	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> ( ( R ` f ) .<_ X <-> ( R ` g ) .<_ X ) )
43	41	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> ( ( R ` f ) .<_ Y <-> ( R ` g ) .<_ Y ) )
44	42, 43	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) <-> ( ( R ` g ) .<_ X -> ( R ` g ) .<_ Y ) ) )
45	44	rspccv 3306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) -> ( g e. T -> ( ( R ` g ) .<_ X -> ( R ` g ) .<_ Y ) ) )
46	40, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) /\ u e. A ) /\ u .<_ W ) -> ( g e. T -> ( ( R ` g ) .<_ X -> ( R ` g ) .<_ Y ) ) )
47		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R ` g ) = u -> ( ( R ` g ) .<_ X <-> u .<_ X ) )
48		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R ` g ) = u -> ( ( R ` g ) .<_ Y <-> u .<_ Y ) )
49	47, 48	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R ` g ) = u -> ( ( ( R ` g ) .<_ X -> ( R ` g ) .<_ Y ) <-> ( u .<_ X -> u .<_ Y ) ) )
50	49	biimpcd 239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R ` g ) .<_ X -> ( R ` g ) .<_ Y ) -> ( ( R ` g ) = u -> ( u .<_ X -> u .<_ Y ) ) )
51	46, 50	syl6 35	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) /\ u e. A ) /\ u .<_ W ) -> ( g e. T -> ( ( R ` g ) = u -> ( u .<_ X -> u .<_ Y ) ) ) )
52	51	rexlimdv 3030	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) /\ u e. A ) /\ u .<_ W ) -> ( E. g e. T ( R ` g ) = u -> ( u .<_ X -> u .<_ Y ) ) )
53	39, 52	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) /\ u e. A ) /\ u .<_ W ) -> ( u .<_ X -> u .<_ Y ) )
54	53	3expia 1267	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) /\ u e. A ) ) -> ( u .<_ W -> ( u .<_ X -> u .<_ Y ) ) )
55	54	impd 447	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) /\ u e. A ) ) -> ( ( u .<_ W /\ u .<_ X ) -> u .<_ Y ) )
56	34, 55	syld 47	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) /\ u e. A ) ) -> ( u .<_ X -> u .<_ Y ) )
57	56	exp32 631	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) -> ( u e. A -> ( u .<_ X -> u .<_ Y ) ) ) )
58	57	ralrimdv 2968	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) -> A. u e. A ( u .<_ X -> u .<_ Y ) ) )
59		simp1l 1085	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> K e. HL )
60		simp2l 1087	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> X e. B )
61		simp3l 1089	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> Y e. B )
62	1, 2, 23	hlatle 34684	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> A. u e. A ( u .<_ X -> u .<_ Y ) ) )
63	59, 60, 61, 62	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( X .<_ Y <-> A. u e. A ( u .<_ X -> u .<_ Y ) ) )
64	58, 63	sylibrd 249	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) -> X .<_ Y ) )
65	19, 64	impbid 202	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( X .<_ Y <-> A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ X -> ( R ` f ) .<_ Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Latclat 17045   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   trLctrl 35445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-undef 7399  df-map 7859  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446

This theorem is referenced by:  diaord  36336  dihord2pre  36514