hspdifhsp - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem hspdifhsp 40830

Description: A n-dimensional half-open interval is the intersection of the difference of half spaces. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
hspdifhsp.x
hspdifhsp.n
hspdifhsp.a
hspdifhsp.b
hspdifhsp.h

**Assertion**
Ref	Expression
hspdifhsp	$\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem hspdifhsp Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . . . . . 8
2		nfcv 2764	. . . . . . . . 9
3		nfixp1 7928	. . . . . . . . 9
4	2, 3	nfel 2777	. . . . . . . 8
5	1, 4	nfan 1828	. . . . . . 7 $/\$
6		ixpfn 7914	. . . . . . . . . . . . 13
7	6	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
8		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9	8	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11	9, 10	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
12		eqimss 3657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
14		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
15		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
16	14, 15	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . . . . . . . . 16
17	13, 16	pm2.61i 176	. . . . . . . . . . . . . . 15
18		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
20		hspdifhsp.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
21	20	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
22	21	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
23	22	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
24		hspdifhsp.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
25	24	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
26		icossre 12254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
27	25, 22, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
28	27	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
29		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
30		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
31		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
32		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
33	31, 32	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
34	33	fvixp 7913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
35	29, 30, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
36	35	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
37	28, 36	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
38	37	mnfltd 11958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
39	25	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
40	39	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
41		icoltub 39732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
42	40, 23, 36, 41	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
43	19, 23, 37, 38, 42	eliood 39720	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
44	17, 43	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
45	44	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
46	45	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
47	7, 46	jca 554	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
48		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12
49	48	elixp 7915	. . . . . . . . . . 11 $/\$
50	47, 49	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
51		hspdifhsp.h	. . . . . . . . . . . . 13
52		equequ1 1952	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53	52	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
54	53	cbvixpv 7926	. . . . . . . . . . . . . . . 16
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
56	55	mpt2eq3ia 6720	. . . . . . . . . . . . . 14
57	56	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . . 13
58	51, 57	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12
59		hspdifhsp.x	. . . . . . . . . . . . 13
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
61		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
62	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
63	62, 61	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
64	58, 60, 61, 63	hspval 40823	. . . . . . . . . . 11 $/\$
65	64	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
66	50, 65	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
67	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
68	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
69	68, 61	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
70	69	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
72		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
73	58, 60, 61, 69	hspval 40823	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
74	73	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
75	72, 74	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
76	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
77		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . 14
78	77	fvixp 7913	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79	75, 76, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
80		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
81	67, 71, 79, 80	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
82	81	adantllr 755	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
83	70	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
84	63	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
85	84	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
86	48	elixp 7915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
87	86	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
88	87	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15
89		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
90	88, 89	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
91	90	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
92		icogelb 12225	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
93	83, 85, 91, 92	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
94	69	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
95		icossre 12254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
96	69, 84, 95	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
97	96	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
98	97, 91	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
99	94, 98	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
100	93, 99	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
102	82, 101	pm2.65da 600	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
103	66, 102	eldifd 3585	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\$
104	103	ex 450	. . . . . . 7 $/\$ $\$
105	5, 104	ralrimi 2957	. . . . . 6 $/\$ $\$
106		eliin 4525	. . . . . . 7 $\$ $\$
107	48, 106	ax-mp 5	. . . . . 6 $\$ $\$
108	105, 107	sylibr 224	. . . . 5 $/\$ $\$
109	108	ex 450	. . . 4 $\$
110		hspdifhsp.n	. . . . . . . . . 10
111		n0 3931	. . . . . . . . . . 11
112	111	biimpi 206	. . . . . . . . . 10
113	110, 112	syl 17	. . . . . . . . 9
114	113	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
115		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $/\$ $\$
116		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $/\$
117		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118	117, 32	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
119	117, 31	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
120	118, 119	difeq12d 3729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$
121	120	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
122	115, 116, 121	eliind 39240	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $/\$ $\$
123	122	eldifad 3586	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $/\$
124	123	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$
125		equequ1 1952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
126	125	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
127	126	cbvixpv 7926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
129	128	mpt2eq3ia 6720	. . . . . . . . . . . . . . 15
130	129	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . . . 14
131	51, 130	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13
132	59	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $/\$
133		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $/\$
134	21	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $/\$
135	131, 132, 133, 134	hspval 40823	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$
136	124, 135	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $/\$
137		ixpfn 7914	. . . . . . . . . . 11
138	136, 137	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
139	138	ex 450	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
140	139	exlimdv 1861	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
141	114, 140	mpd 15	. . . . . . 7 $/\$ $\$
142		nfii1 4551	. . . . . . . . . 10 $\$
143	2, 142	nfel 2777	. . . . . . . . 9 $\$
144	1, 143	nfan 1828	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
145		simpll 790	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
146	107	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$
147	146	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $/\$ $\$
148		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $/\$
149		rspa 2930	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $/\$ $\$
150	147, 148, 149	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $\$ $/\$ $\$
151	150	adantll 750	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$ $\$
152		simpr 477	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
153	70	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $/\$
154	84	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $/\$
155		simpll 790	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $/\$
156		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
157	156	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $/\$
158		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $/\$
159		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . 14
160		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
161	64	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
162	160, 161	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
163		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
164	10	fvixp 7913	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
165	162, 163, 164	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
166	159, 165	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
167	155, 157, 158, 166	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$
168	167	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $/\$
169		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$
170	156	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$
171	169, 170	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$ $/\$
172	171	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
173		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
174		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
175		ixpfn 7914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
176	162, 175	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
177	176	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
178		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
179	178	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
180	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
181	70	ad4ant13 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
182	166	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
183	182	mnfltd 11958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
184		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
185	180, 181, 182, 183, 184	eliood 39720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
186	185	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
187	179, 186	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
188	187	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
189	77	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
190	189	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
191	188, 190	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
192	10, 159	syl6eqss 3655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
193		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
194	15, 193	syl6eqss 3655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
195	192, 194	pm2.61i 176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
196	162	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
197		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
198		fvixp2 39389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
199	196, 197, 198	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
200	195, 199	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
201	200	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
202		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
203	202	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
204	203	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
205	201, 204	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
206	205	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
207	191, 206	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
208	207	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
209	177, 208	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
210	48	elixp 7915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
211	209, 210	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
212	73	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
213	212	ad4ant13 1292	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
214	211, 213	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
215	172, 173, 174, 214	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
216		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
217	216	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
218	215, 217	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$
219	155, 158, 69	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $/\$
220	219, 167	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$
221	218, 220	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $/\$
222	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
223	84	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
224		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
225	222, 223, 165, 224	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
226	155, 157, 158, 225	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $/\$
227	153, 154, 168, 221, 226	elicod 12224	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
228	145, 151, 152, 227	syl21anc 1325	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
229	228	ex 450	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
230	144, 229	ralrimi 2957	. . . . . . 7 $/\$ $\$
231	141, 230	jca 554	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
232	231, 86	sylibr 224	. . . . 5 $/\$ $\$
233	232	ex 450	. . . 4 $\$
234	109, 233	impbid 202	. . 3 $\$
235	234	alrimiv 1855	. 2 $\$
236		dfcleq 2616	. 2 $\$ $\$
237	235, 236	sylibr 224	1 $\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wal 1481

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

cvv 3200 $\$ cdif 3571

wss 3574

c0 3915

cif 4086

ciin 4521 class class class wbr 4653

cmpt 4729

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmpt2 6652

cixp 7908

cfn 7955

cr 9935

cmnf 10072

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cioo 12175

cico 12177

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-po 5035 df-so 5036 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-er 7742 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-ioo 12179 df-ico 12181

This theorem is referenced by: hoimbllem 40844

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