Theorem mnfltd 11958

Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnfltd.a	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
mnfltd	|- ( ph -> -oo < A )

Proof of Theorem mnfltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfltd.a	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		mnflt 11957	. 2 |- ( A e. RR -> -oo < A )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( ph -> -oo < A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   RRcr 9935   -oocmnf 10072   < clt 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079

This theorem is referenced by:  infxrre  12166  caucvgrlem  14403  areacirclem5  33504  infleinflem2  39587  xrralrecnnge  39613  icoopn  39751  icomnfinre  39779  ressiocsup  39781  ressioosup  39782  preimaiocmnf  39788  limciccioolb  39853  limsupre  39873  limcresioolb  39875  limcleqr  39876  xlimmnfvlem1  40058  fourierdlem32  40356  fourierdlem46  40369  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem74  40397  fourierdlem88  40411  fourierdlem95  40418  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fouriersw  40448  ioorrnopnxrlem  40526  hspdifhsp  40830  hspmbllem2  40841  pimltmnf2  40911  pimgtmnf2  40924  smfsuplem1  41017