Theorem icogelb 12225

Description: An element of a left closed right open interval is larger or equal to its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
icogelb	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. ( A [,) B ) ) -> A <_ C )

Proof of Theorem icogelb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elico1 12218	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,) B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B ) ) )
2		simp2 1062	. . 3 |- ( ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B ) -> A <_ C )
3	1, 2	syl6bi 243	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,) B ) -> A <_ C ) )
4	3	3impia 1261	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. ( A [,) B ) ) -> A <_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   [,)cico 12177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-xr 10078  df-ico 12181

This theorem is referenced by:  fprodge0  14724  fprodge1  14726  hgt750lemf  30731  xralrple2  39570  icoopn  39751  icogelbd  39785  fsumge0cl  39805  limcresioolb  39875  fourierdlem41  40365  fourierdlem43  40367  fourierdlem46  40369  fourierdlem48  40371  fouriersw  40448  sge0isum  40644  sge0ad2en  40648  sge0uzfsumgt  40661  sge0seq  40663  sge0reuz  40664  hoidmv1lelem2  40806  hoidmvlelem1  40809  hoidmvlelem2  40810  ovnhoilem1  40815  hspdifhsp  40830  hspmbllem2  40841  iinhoiicclem  40887