Theorem hvnegdii 27919

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	|- A e. ~H
hvnegdi.2	|- B e. ~H

Assertion

Ref	Expression
hvnegdii	|- ( -u 1 .h ( A -h B ) ) = ( B -h A )

Proof of Theorem hvnegdii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvnegdi.1	. . . 4 |- A e. ~H
2		hvnegdi.2	. . . 4 |- B e. ~H
3	1, 2	hvsubvali 27877	. . 3 |- ( A -h B ) = ( A +h ( -u 1 .h B ) )
4	3	oveq2i 6661	. 2 |- ( -u 1 .h ( A -h B ) ) = ( -u 1 .h ( A +h ( -u 1 .h B ) ) )
5		neg1cn 11124	. . 3 |- -u 1 e. CC
6	5, 2	hvmulcli 27871	. . 3 |- ( -u 1 .h B ) e. ~H
7	5, 1, 6	hvdistr1i 27908	. 2 |- ( -u 1 .h ( A +h ( -u 1 .h B ) ) ) = ( ( -u 1 .h A ) +h ( -u 1 .h ( -u 1 .h B ) ) )
8		neg1mulneg1e1 11245	. . . . . 6 |- ( -u 1 x. -u 1 ) = 1
9	8	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( ( -u 1 x. -u 1 ) .h B ) = ( 1 .h B )
10	5, 5, 2	hvmulassi 27903	. . . . 5 |- ( ( -u 1 x. -u 1 ) .h B ) = ( -u 1 .h ( -u 1 .h B ) )
11		ax-hvmulid 27863	. . . . . 6 |- ( B e. ~H -> ( 1 .h B ) = B )
12	2, 11	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 1 .h B ) = B
13	9, 10, 12	3eqtr3i 2652	. . . 4 |- ( -u 1 .h ( -u 1 .h B ) ) = B
14	13	oveq1i 6660	. . 3 |- ( ( -u 1 .h ( -u 1 .h B ) ) +h ( -u 1 .h A ) ) = ( B +h ( -u 1 .h A ) )
15	5, 1	hvmulcli 27871	. . . 4 |- ( -u 1 .h A ) e. ~H
16	5, 6	hvmulcli 27871	. . . 4 |- ( -u 1 .h ( -u 1 .h B ) ) e. ~H
17	15, 16	hvcomi 27876	. . 3 |- ( ( -u 1 .h A ) +h ( -u 1 .h ( -u 1 .h B ) ) ) = ( ( -u 1 .h ( -u 1 .h B ) ) +h ( -u 1 .h A ) )
18	2, 1	hvsubvali 27877	. . 3 |- ( B -h A ) = ( B +h ( -u 1 .h A ) )
19	14, 17, 18	3eqtr4i 2654	. 2 |- ( ( -u 1 .h A ) +h ( -u 1 .h ( -u 1 .h B ) ) ) = ( B -h A )
20	4, 7, 19	3eqtri 2648	1 |- ( -u 1 .h ( A -h B ) ) = ( B -h A )

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   1c1 9937   x. cmul 9941   -ucneg 10267   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   -h cmv 27782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-hvcom 27858  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269  df-hvsub 27828

This theorem is referenced by:  hvnegdi  27924  hisubcomi  27961  normsubi  27998  normpar2i  28013  pjsslem  28538  pjcji  28543