Theorem infil 21667

Description: The intersection of two filters is a filter. Use fiint 8237 to extend this property to the intersection of a finite set of filters. Paragraph 3 of [BourbakiTop1] p. I.36. (Contributed by FL, 17-Sep-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infil	|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> ( F i^i G ) e. ( Fil ` X ) )

Proof of Theorem infil

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 3833	. . . 4 |- ( F i^i G ) C_ F
2		filsspw 21655	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F C_ ~P X )
3	2	adantr 481	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> F C_ ~P X )
4	1, 3	syl5ss 3614	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> ( F i^i G ) C_ ~P X )
5		0nelfil 21653	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> -. (/) e. F )
6	5	adantr 481	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> -. (/) e. F )
7	1	sseli 3599	. . . 4 |- ( (/) e. ( F i^i G ) -> (/) e. F )
8	6, 7	nsyl 135	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> -. (/) e. ( F i^i G ) )
9		filtop 21659	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> X e. F )
10	9	adantr 481	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> X e. F )
11		filtop 21659	. . . . 5 |- ( G e. ( Fil ` X ) -> X e. G )
12	11	adantl 482	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> X e. G )
13	10, 12	elind 3798	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> X e. ( F i^i G ) )
14	4, 8, 13	3jca 1242	. 2 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> ( ( F i^i G ) C_ ~P X /\ -. (/) e. ( F i^i G ) /\ X e. ( F i^i G ) ) )
15		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
16		simpr2 1068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> y e. ( F i^i G ) )
17	1	sseli 3599	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( F i^i G ) -> y e. F )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> y e. F )
19		simpr1 1067	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> x e. ~P X )
20	19	elpwid 4170	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> x C_ X )
21		simpr3 1069	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> y C_ x )
22		filss 21657	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( y e. F /\ x C_ X /\ y C_ x ) ) -> x e. F )
23	15, 18, 20, 21, 22	syl13anc 1328	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> x e. F )
24		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> G e. ( Fil ` X ) )
25		inss2 3834	. . . . . . . . . 10 |- ( F i^i G ) C_ G
26	25	sseli 3599	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( F i^i G ) -> y e. G )
27	16, 26	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> y e. G )
28		filss 21657	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. ( Fil ` X ) /\ ( y e. G /\ x C_ X /\ y C_ x ) ) -> x e. G )
29	24, 27, 20, 21, 28	syl13anc 1328	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> x e. G )
30	23, 29	elind 3798	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> x e. ( F i^i G ) )
31	30	3exp2 1285	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> ( x e. ~P X -> ( y e. ( F i^i G ) -> ( y C_ x -> x e. ( F i^i G ) ) ) ) )
32	31	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. ~P X ) -> ( y e. ( F i^i G ) -> ( y C_ x -> x e. ( F i^i G ) ) ) )
33	32	rexlimdv 3030	. . 3 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. ~P X ) -> ( E. y e. ( F i^i G ) y C_ x -> x e. ( F i^i G ) ) )
34	33	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> A. x e. ~P X ( E. y e. ( F i^i G ) y C_ x -> x e. ( F i^i G ) ) )
35		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
36	1	sseli 3599	. . . . . 6 |- ( x e. ( F i^i G ) -> x e. F )
37	36, 17	anim12i 590	. . . . 5 |- ( ( x e. ( F i^i G ) /\ y e. ( F i^i G ) ) -> ( x e. F /\ y e. F ) )
38		filin 21658	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x e. F /\ y e. F ) -> ( x i^i y ) e. F )
39	38	3expb 1266	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( x i^i y ) e. F )
40	35, 37, 39	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ( F i^i G ) /\ y e. ( F i^i G ) ) ) -> ( x i^i y ) e. F )
41		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> G e. ( Fil ` X ) )
42	25	sseli 3599	. . . . . 6 |- ( x e. ( F i^i G ) -> x e. G )
43	42, 26	anim12i 590	. . . . 5 |- ( ( x e. ( F i^i G ) /\ y e. ( F i^i G ) ) -> ( x e. G /\ y e. G ) )
44		filin 21658	. . . . . 6 |- ( ( G e. ( Fil ` X ) /\ x e. G /\ y e. G ) -> ( x i^i y ) e. G )
45	44	3expb 1266	. . . . 5 |- ( ( G e. ( Fil ` X ) /\ ( x e. G /\ y e. G ) ) -> ( x i^i y ) e. G )
46	41, 43, 45	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ( F i^i G ) /\ y e. ( F i^i G ) ) ) -> ( x i^i y ) e. G )
47	40, 46	elind 3798	. . 3 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ( F i^i G ) /\ y e. ( F i^i G ) ) ) -> ( x i^i y ) e. ( F i^i G ) )
48	47	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> A. x e. ( F i^i G ) A. y e. ( F i^i G ) ( x i^i y ) e. ( F i^i G ) )
49		isfil2 21660	. 2 |- ( ( F i^i G ) e. ( Fil ` X ) <-> ( ( ( F i^i G ) C_ ~P X /\ -. (/) e. ( F i^i G ) /\ X e. ( F i^i G ) ) /\ A. x e. ~P X ( E. y e. ( F i^i G ) y C_ x -> x e. ( F i^i G ) ) /\ A. x e. ( F i^i G ) A. y e. ( F i^i G ) ( x i^i y ) e. ( F i^i G ) ) )
50	14, 34, 48, 49	syl3anbrc 1246	1 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> ( F i^i G ) e. ( Fil ` X ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   ` cfv 5888   Filcfil 21649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-fbas 19743  df-fil 21650

This theorem is referenced by: (None)