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Theorem fiint 8237

Description: Equivalent ways of stating the finite intersection property. We show two ways of saying, "the intersection of elements in every finite nonempty subcollection of

is in

." This theorem is applicable to a topology, which (among other axioms) is closed under finite intersections. Some texts use the left-hand version of this axiom and others the right-hand version, but as our proof here shows, their "intuitively obvious" equivalence can be non-trivial to establish formally. (Contributed by NM, 22-Sep-2002.)

**Assertion**
Ref	Expression
fiint	$/\$ $/\$

Distinct variable group:

Proof of Theorem fiint Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7979	. . . . . . 7
2		ensym 8005	. . . . . . . . 9
3		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16
4	3	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	4	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6	5	albidv 1849	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16
8	7	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	8	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	9	albidv 1849	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16
12	11	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13	12	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14	13	albidv 1849	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15		ensym 8005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
16		en0 8019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
17	15, 16	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
18	17	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
19	18	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
20	19	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
21		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
22		pm3.24 926	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
23	22	pm2.21i 116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
24	21, 23	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
25	20, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
26	25	ax-gen 1722	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
28		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15
29		nfa1 2028	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
30		bren 7964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
31		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
32		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
33		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
34	33	sucid 5804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
35		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
36	32, 34, 35	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
37	31, 36	impel 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
40		imassrn 5477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
41		dff1o2 6142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$
42	41	simp3bi 1078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
43	40, 42	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
44		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
46	45	anim1d 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
47		f1of1 6136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
48		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
49		sssucid 5802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
50		f1imaen2g 8017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$
51	49, 33, 50	mpanr12 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$
52	47, 48, 51	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
53	52	ensymd 8007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
54	46, 53	jctird 567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
55		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
56	55	imaex 7104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
57		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
58		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
59	57, 58	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
60		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
61	59, 60	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		inteq 4478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
63	62	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
64	61, 63	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	56, 64	spcv 3299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	54, 65	sylan9 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
68	67	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
69		ineq2 3808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
70	69	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
71	68, 70	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
72	71	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
73	66, 72	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	73	com4r 94	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	74	exp5c 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
76	75	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
77	76	imp43 621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	39, 77	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79		inteq 4478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
80		int0 4490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
81	79, 80	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
82	81	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
83		ssv 3625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
84		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
85	83, 84	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
86	82, 85	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
87	86	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
88	87	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
89	78, 88	pm2.61d2 172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	38, 89	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
92	91	intunsn 4516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
93		f1ofn 6138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
94		fnsnfv 6258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
95	93, 34, 94	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
96	95	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
97		df-suc 5729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
98	97	imaeq2i 5464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
99		imaundi 5545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
100	98, 99	eqtr2i 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
101	96, 100	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
102		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
103		foima 6120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
105	101, 104	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
106	105	inteqd 4480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
107	92, 106	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
108	107	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
109	108	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	90, 109	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	110	exp43 640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
112	111	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
113	30, 112	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
114	113	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	115	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	28, 29, 116	alrimd 2084	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	6, 10, 14, 27, 118	finds2 7094	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
120		sp 2053	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	119, 120	syl6 35	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
122	121	exp4a 633	. . . . . . . . . 10 $/\$
123	122	com24 95	. . . . . . . . 9 $/\$
124	2, 123	syl5 34	. . . . . . . 8 $/\$
125	124	rexlimiv 3027	. . . . . . 7 $/\$
126	1, 125	sylbi 207	. . . . . 6 $/\$
127	126	com13 88	. . . . 5 $/\$
128	127	impd 447	. . . 4 $/\$ $/\$
129	128	alrimiv 1855	. . 3 $/\$ $/\$
130		zfpair2 4907	. . . . . 6
131		sseq1 3626	. . . . . . . . 9
132		neeq1 2856	. . . . . . . . 9
133	131, 132	anbi12d 747	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
134		eleq1 2689	. . . . . . . 8
135	133, 134	anbi12d 747	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136		inteq 4478	. . . . . . . 8
137	136	eleq1d 2686	. . . . . . 7
138	135, 137	imbi12d 334	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	130, 138	spcv 3299	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140		vex 3203	. . . . . . 7
141		vex 3203	. . . . . . 7
142	140, 141	prss 4351	. . . . . 6 $/\$
143	140	prnz 4310	. . . . . . 7
144	143	biantru 526	. . . . . 6 $/\$
145		prfi 8235	. . . . . . 7
146	145	biantru 526	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
147	142, 144, 146	3bitrri 287	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
148	140, 141	intpr 4510	. . . . . 6
149	148	eleq1i 2692	. . . . 5
150	139, 147, 149	3imtr3g 284	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
151	150	ralrimivv 2970	. . 3 $/\$ $/\$
152	129, 151	impbii 199	. 2 $/\$ $/\$
153		ineq1 3807	. . . 4
154	153	eleq1d 2686	. . 3
155		ineq2 3808	. . . 4
156	155	eleq1d 2686	. . 3
157	154, 156	cbvral2v 3179	. 2
158		df-3an 1039	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
159	158	imbi1i 339	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
160	159	albii 1747	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
161	152, 157, 160	3bitr4i 292	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wal 1481

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

csn 4177

cpr 4179

cint 4475 class class class wbr 4653

ccnv 5113

crn 5115

cima 5117

csuc 5725

wfun 5882

wfn 5883

wf 5884

wf1 5885

wfo 5886

wf1o 5887

cfv 5888

com 7065

cen 7952

cfn 7955

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-fin 7959

This theorem is referenced by: dffi2 8329 istop2g 20701 neificl 33549

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