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Theorem initoeu2lem2 16665
Description: Lemma 2 for initoeu2 16666. (Contributed by AV, 10-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
initoeu1.c |- ( ph -> C e. Cat )
initoeu1.a |- ( ph -> A e. (InitO ` C ) )
initoeu2lem.x |- X = ( Base ` C )
initoeu2lem.h |- H = ( Hom ` C )
initoeu2lem.i |- I = ( Iso ` C )
initoeu2lem.o |- .o. = (comp ` C )
Assertion
Ref Expression
initoeu2lem2 |- ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) -> ( E! f f e. ( A H D ) -> E! g g e. ( B H D ) ) )
Distinct variable groups:   A, g, f   B, g, f   C, f, g   ph, g, f   D, f   f, F   f, I   f, K   f, H   f, X   .o. , f   D, g   g, F   g, H   g, I   g, K   g, X   .o. , g
Proof of Theorem initoeu2lem2
Dummy variable h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6678 . . . . . . . . . 10 |- ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. _V
2 eleq1 2689 . . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) -> ( g e. ( B H D ) <-> ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) )
32spcegv 3294 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. _V -> ( ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) -> E. g g e. ( B H D ) ) )
41, 3mp1i 13 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) -> E. g g e. ( B H D ) ) )
54com12 32 . . . . . . . 8 |- ( ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) -> ( ph -> E. g g e. ( B H D ) ) )
653ad2ant3 1084 . . . . . . 7 |- ( ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) -> ( ph -> E. g g e. ( B H D ) ) )
76com12 32 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) -> E. g g e. ( B H D ) ) )
87a1d 25 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) -> ( ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) -> E. g g e. ( B H D ) ) ) )
983imp 1256 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) -> E. g g e. ( B H D ) )
109adantr 481 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) -> E. g g e. ( B H D ) )
11 simpll1 1100 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ g e. ( B H D ) ) -> ph )
12 simpll2 1101 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ g e. ( B H D ) ) -> ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) )
13 3simpb 1059 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) -> ( K e. ( B I A ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) )
14133ad2ant3 1084 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) -> ( K e. ( B I A ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) )
1514adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) -> ( K e. ( B I A ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) )
1615adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ g e. ( B H D ) ) -> ( K e. ( B I A ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) )
17 simplr 792 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ g e. ( B H D ) ) -> E! f f e. ( A H D ) )
18 simpl32 1143 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) -> F e. ( A H D ) )
1918adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ g e. ( B H D ) ) -> F e. ( A H D ) )
20 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ g e. ( B H D ) ) -> g e. ( B H D ) )
21 initoeu1.c . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. Cat )
22 initoeu1.a . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. (InitO ` C ) )
23 initoeu2lem.x . . . . . . . . . 10 |- X = ( Base ` C )
24 initoeu2lem.h . . . . . . . . . 10 |- H = ( Hom ` C )
25 initoeu2lem.i . . . . . . . . . 10 |- I = ( Iso ` C )
26 initoeu2lem.o . . . . . . . . . 10 |- .o. = (comp ` C )
2721, 22, 23, 24, 25, 26initoeu2lem1 16664 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) -> ( ( E! f f e. ( A H D ) /\ F e. ( A H D ) /\ g e. ( B H D ) ) -> g = ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) ) )
2827imp 445 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ ( E! f f e. ( A H D ) /\ F e. ( A H D ) /\ g e. ( B H D ) ) ) -> g = ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) )
2911, 12, 16, 17, 19, 20, 28syl33anc 1341 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ g e. ( B H D ) ) -> g = ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) )
3029adantrr 753 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ ( g e. ( B H D ) /\ h e. ( B H D ) ) ) -> g = ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) )
31 simpll1 1100 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ h e. ( B H D ) ) -> ph )
32 simpll2 1101 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ h e. ( B H D ) ) -> ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) )
3315adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ h e. ( B H D ) ) -> ( K e. ( B I A ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) )
34 simplr 792 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ h e. ( B H D ) ) -> E! f f e. ( A H D ) )
3518adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ h e. ( B H D ) ) -> F e. ( A H D ) )
36 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ h e. ( B H D ) ) -> h e. ( B H D ) )
3721, 22, 23, 24, 25, 26initoeu2lem1 16664 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) -> ( ( E! f f e. ( A H D ) /\ F e. ( A H D ) /\ h e. ( B H D ) ) -> h = ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) ) )
3837imp 445 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ ( E! f f e. ( A H D ) /\ F e. ( A H D ) /\ h e. ( B H D ) ) ) -> h = ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) )
3931, 32, 33, 34, 35, 36, 38syl33anc 1341 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ h e. ( B H D ) ) -> h = ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) )
4039adantrl 752 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ ( g e. ( B H D ) /\ h e. ( B H D ) ) ) -> h = ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) )
4130, 40eqtr4d 2659 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ ( g e. ( B H D ) /\ h e. ( B H D ) ) ) -> g = h )
4241ex 450 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) -> ( ( g e. ( B H D ) /\ h e. ( B H D ) ) -> g = h ) )
4342alrimivv 1856 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) -> A. g A. h ( ( g e. ( B H D ) /\ h e. ( B H D ) ) -> g = h ) )
44 eleq1 2689 . . . 4 |- ( g = h -> ( g e. ( B H D ) <-> h e. ( B H D ) ) )
4544eu4 2518 . . 3 |- ( E! g g e. ( B H D ) <-> ( E. g g e. ( B H D ) /\ A. g A. h ( ( g e. ( B H D ) /\ h e. ( B H D ) ) -> g = h ) ) )
4610, 43, 45sylanbrc 698 . 2 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) -> E! g g e. ( B H D ) )
4746ex 450 1 |- ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) -> ( E! f f e. ( A H D ) -> E! g g e. ( B H D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   _Vcvv 3200   <.cop 4183   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325   Iso ciso 16406  InitOcinito 16638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-cat 16329  df-cid 16330  df-sect 16407  df-inv 16408  df-iso 16409
This theorem is referenced by:  initoeu2  16666
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