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Theorem initoeu2lem1 16664

Description: Lemma 1 for initoeu2 16666. (Contributed by AV, 9-Apr-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
initoeu1.c
initoeu1.a	InitO
initoeu2lem.x
initoeu2lem.h
initoeu2lem.i
initoeu2lem.o	comp

**Assertion**
Ref	Expression
initoeu2lem1	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem initoeu2lem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eusn 4265	. . . 4
2		initoeu2lem.x	. . . . . . . . . . . 12
3		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 Inv Inv
4		initoeu1.c	. . . . . . . . . . . . 13
5	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		initoeu2lem.i	. . . . . . . . . . . 12
11	2, 3, 5, 7, 9, 10	invf 16428	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv
12		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13	11, 12	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv
14		initoeu2lem.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
16	2, 14, 10, 15, 8, 6	isohom 16436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18	17	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv Inv
19		initoeu2lem.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 comp
20	15	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv $/\$
21	8	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv $/\$
22	6	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv $/\$
23		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
24	23	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv $/\$
25		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv $/\$ Inv
26		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv $/\$
27	2, 14, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26	catcocl 16346	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv $/\$ Inv
28	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$
29	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$
30	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$
31	23	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$
32		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv
33		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$
34	2, 14, 19, 28, 29, 30, 31, 32, 33	catcocl 16346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv
35	34	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ Inv Inv
36	35	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv Inv Inv
37	36	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv Inv
38		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Inv Inv
39	38	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv Inv
40		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Inv
41		elsng 4191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Inv Inv Inv
42	40, 41	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv Inv
43	39, 42	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv Inv
44		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Inv Inv
45		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Inv
46		elsng 4191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Inv Inv Inv
47	45, 46	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Inv Inv
48	44, 47	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Inv Inv
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv Inv
50		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Inv Inv Inv Inv
51	50	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Inv Inv Inv Inv
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv Inv Inv Inv
53		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv Inv $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv Inv $/\$ $/\$
55		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv Inv $/\$ $/\$
56		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv Inv $/\$ $/\$
57		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv Inv $/\$ $/\$ Inv Inv
58		initoeu1.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 InitO
59	4, 58, 2, 14, 10, 19	initoeu2lem0 16663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv Inv
60	53, 54, 55, 56, 57, 59	syl131anc 1339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv Inv $/\$ $/\$
61	60	exp43 640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv Inv Inv
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv Inv Inv
63	52, 62	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv Inv
64	63	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv Inv Inv
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv Inv
66	49, 65	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv Inv
67	66	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv Inv
68	43, 67	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv Inv
69	68	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv Inv
70	69	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv Inv Inv
71	70	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv Inv Inv
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv Inv Inv
73	37, 72	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv Inv
74	73	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv Inv
75	74	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv $/\$ Inv
76	27, 75	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv $/\$
77	76	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ Inv
78	18, 77	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv
79	78	com15 101	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv
80	79	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv
81	80	impcom 446	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv
82	81	com13 88	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Inv $/\$ $/\$
83	13, 82	mpdan 702	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	83	expimpd 629	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	84	3impia 1261	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	85	com12 32	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	86	ex 450	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	87	exlimiv 1858	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	1, 88	sylbi 207	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	89	3impib 1262	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	90	com12 32	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

weu 2470

cvv 3200

wss 3574

csn 4177

cop 4183

cfv 5888 (class class class)co 6650

cbs 15857

chom 15952 compcco 15953

ccat 16325 Invcinv 16405

ciso 16406 InitOcinito 16638

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-cat 16329 df-cid 16330 df-sect 16407 df-inv 16408 df-iso 16409

This theorem is referenced by: initoeu2lem2 16665

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