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| Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > initoeu2 | Structured version Visualization version Unicode version | ||
| Description: Initial objects are essentially unique, if A is an initial object, then so is every object that is isomorphic to A. Proposition 7.3 (2) in [Adamek] p. 102. (Contributed by AV, 10-Apr-2020.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| initoeu1.c |
        |
| initoeu1.a |
 InitO |
| initoeu2.i |
 𝑐
 |
| Ref | Expression |
|---|---|
| initoeu2 |
InitO |
are mutually distinct and distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | initoeu2.i |
. 2
𝑐
| |
| 2 | initoeu1.c |
. . . 4
| |
| 3 | ciclcl 16462 |
. . . 4
![/\](wedge.gif "/\"){kind=small} 𝑐
 | |
| 4 | 2, 3 | sylan 488 |
. . 3
𝑐 |
| 5 | cicrcl 16463 |
. . . 4
𝑐
| |
| 6 | 2, 5 | sylan 488 |
. . 3
𝑐 |
| 7 | 2 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
|
| 8 | cicsym 16464 |
. . . . . . . . . 10
𝑐
𝑐 | |
| 9 | 7, 8 | sylan 488 |
. . . . . . . . 9
𝑐
𝑐 |
| 10 | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . 12
  | |
| 11 | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 12 | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 13 | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 14 | 10, 11, 7, 12, 13 | cic 16459 |
. . . . . . . . . . 11
𝑐
  |
| 15 | initoeu1.a |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
InitO | |
| 16 | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 | |
| 17 | 11, 16, 2 | isinitoi 16653 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
InitO
  |
| 18 | 15, 17 | mpdan 702 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 19 | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 20 | 19 | eleq2d 2687 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 21 | 20 | eubidv 2490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 22 | 21 | rspcva 3307 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 23 | nfv 1843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 24 | nfv 1843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 25 | eleq1 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 26 | 23, 24, 25 | cbveu 2505 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 27 | euex 2494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 28 | 2 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 29 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
| |
| 30 | 29 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 31 | simpl 473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
| |
| 32 | 31 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 33 | 11, 16, 10, 28, 30, 32 | isohom 16436 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
 |
| 34 | 33 | sselda 3603 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 35 | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
comp comp | |
| 36 | 28 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 37 | 30 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 38 | 32 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 39 | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
| |
| 40 | 39 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 41 | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
| |
| 42 | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
| |
| 43 | 11, 16, 35, 36, 37, 38, 40, 41, 42 | catcocl 16346 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
   comp |
| 44 | simpl 473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
| |
| 45 | 44 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
|
| 46 | 45 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
comp |
| 47 | df-3an 1039 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
| |
| 48 | 47 | biimpri 218 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
|
| 49 | 48 | ad4antlr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
comp
|
| 50 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
| |
| 51 | 50 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
comp |
| 52 | 42 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
comp |
| 53 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
comp comp | |
| 54 | 2, 15, 11, 16, 10, 35 | initoeu2lem2 16665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
comp
|
| 55 | 46, 49, 51, 52, 53, 54 | syl113anc 1338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
comp
|
| 56 | 43, 55 | mpdan 702 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 57 | 56 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 58 | 34, 57 | mpand 711 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
|
| 59 | 58 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
|
| 60 | 59 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 61 | 60 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
|
| 62 | 61 | com15 101 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
|
| 63 | 62 | expd 452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 64 | 63 | com24 95 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 65 | 64 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 66 | 65 | exlimiv 1858 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 67 | 27, 66 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 68 | 26, 67 | sylbi 207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 69 | 68 | pm2.43i 52 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 70 | 69 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 71 | 70 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 72 | 22, 71 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 73 | 72 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 74 | 73 | com15 101 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 75 | 74 | adantld 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 76 | 18, 75 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 77 | 76 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 78 | 77 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 79 | 78 | exlimiv 1858 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 80 | 79 | com12 32 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 81 | 14, 80 | sylbid 230 |
. . . . . . . . . 10
𝑐
|
| 82 | 81 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
𝑐
𝑐
|
| 83 | 9, 82 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
𝑐
|
| 84 | 83 | an32s 846 |
. . . . . . 7
𝑐
|
| 85 | 84 | imp 445 |
. . . . . 6
𝑐
|
| 86 | 85 | ralrimiva 2966 |
. . . . 5
𝑐
|
| 87 | 2 | ad2antrr 762 |
. . . . . 6
𝑐
|
| 88 | simprr 796 |
. . . . . 6
𝑐
| |
| 89 | 11, 16, 87, 88 | isinito 16650 |
. . . . 5
𝑐
InitO
|
| 90 | 86, 89 | mpbird 247 |
. . . 4
𝑐
InitO |
| 91 | 90 | ex 450 |
. . 3
𝑐
InitO |
| 92 | 4, 6, 91 | mp2and 715 |
. 2
𝑐 InitO |
| 93 | 1, 92 | mpdan 702 |
1
InitO |
| Colors of variables: wff setvar class |
| Syntax hints: wi 4
wa 384
w3a 1037
wceq 1483
wex 1704
wcel 1990
weu 2470
wral 2912
cop 4183
class class class wbr 4653 cfv 5888 (class class class)co 6650
cbs 15857
chom 15952
compcco 15953 ccat 16325 ciso 16406 𝑐 ccic 16455
InitOcinito 16638 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-cat 16329 df-cid 16330 df-sect 16407 df-inv 16408 df-iso 16409 df-cic 16456 df-inito 16641 |
| This theorem is referenced by: (None) |
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