Theorem iscfil 23063

Description: The property of being a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iscfil	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( F e. (CauFil ` D ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, X, y   x, D, y

Proof of Theorem iscfil

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfilfval 23062	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> (CauFil ` D ) = { f e. ( Fil ` X ) | A. x e. RR+ E. y e. f ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) } )
2	1	eleq2d 2687	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( F e. (CauFil ` D ) <-> F e. { f e. ( Fil ` X ) | A. x e. RR+ E. y e. f ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) } ) )
3		rexeq 3139	. . . 4 |- ( f = F -> ( E. y e. f ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) <-> E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) )
4	3	ralbidv 2986	. . 3 |- ( f = F -> ( A. x e. RR+ E. y e. f ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) <-> A. x e. RR+ E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) )
5	4	elrab 3363	. 2 |- ( F e. { f e. ( Fil ` X ) | A. x e. RR+ E. y e. f ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) } <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) )
6	2, 5	syl6bb 276	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( F e. (CauFil ` D ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   X. cxp 5112   "cima 5117   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   RR+crp 11832   [,)cico 12177   *Metcxmt 19731   Filcfil 21649  CauFilccfil 23050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-xr 10078  df-xmet 19739  df-cfil 23053

This theorem is referenced by:  iscfil2  23064  cfilfil  23065  cfilss  23068  cfilucfil3  23117  cmetcusp  23150