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Theorem iscfil2 23064
Description: The property of being a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscfil2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( F e. (CauFil ` D ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. F A. z e. y A. w e. y ( z D w ) < x ) ) )
Distinct variable groups:   x, w, y, z, F   w, X, x, y, z   w, D, x, y, z
Proof of Theorem iscfil2
StepHypRef Expression
1 iscfil 23063 . 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( F e. (CauFil ` D ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) )
2 xmetf 22134 . . . . . . . . 9 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
32ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. F ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
4 ffun 6048 . . . . . . . 8 |- ( D : ( X X. X ) --> RR* -> Fun D )
53, 4syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. F ) -> Fun D )
6 simplr 792 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. RR+ ) -> F e. ( Fil ` X ) )
7 filelss 21656 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> y C_ X )
86, 7sylan 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. F ) -> y C_ X )
9 xpss12 5225 . . . . . . . . 9 |- ( ( y C_ X /\ y C_ X ) -> ( y X. y ) C_ ( X X. X ) )
108, 8, 9syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. F ) -> ( y X. y ) C_ ( X X. X ) )
11 fdm 6051 . . . . . . . . 9 |- ( D : ( X X. X ) --> RR* -> dom D = ( X X. X ) )
123, 11syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. F ) -> dom D = ( X X. X ) )
1310, 12sseqtr4d 3642 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. F ) -> ( y X. y ) C_ dom D )
14 funimassov 6811 . . . . . . 7 |- ( ( Fun D /\ ( y X. y ) C_ dom D ) -> ( ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) <-> A. z e. y A. w e. y ( z D w ) e. ( 0 [,) x ) ) )
155, 13, 14syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. F ) -> ( ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) <-> A. z e. y A. w e. y ( z D w ) e. ( 0 [,) x ) ) )
16 0xr 10086 . . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
1716a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. F ) /\ ( z e. y /\ w e. y ) ) -> 0 e. RR* )
18 simpllr 799 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. F ) /\ ( z e. y /\ w e. y ) ) -> x e. RR+ )
1918rpxrd 11873 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. F ) /\ ( z e. y /\ w e. y ) ) -> x e. RR* )
20 simp-4l 806 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. F ) /\ ( z e. y /\ w e. y ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
218sselda 3603 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. F ) /\ z e. y ) -> z e. X )
2221adantrr 753 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. F ) /\ ( z e. y /\ w e. y ) ) -> z e. X )
238sselda 3603 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. F ) /\ w e. y ) -> w e. X )
2423adantrl 752 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. F ) /\ ( z e. y /\ w e. y ) ) -> w e. X )
25 xmetcl 22136 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ z e. X /\ w e. X ) -> ( z D w ) e. RR* )
2620, 22, 24, 25syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. F ) /\ ( z e. y /\ w e. y ) ) -> ( z D w ) e. RR* )
27 xmetge0 22149 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ z e. X /\ w e. X ) -> 0 <_ ( z D w ) )
2820, 22, 24, 27syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. F ) /\ ( z e. y /\ w e. y ) ) -> 0 <_ ( z D w ) )
29 elico1 12218 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( ( z D w ) e. ( 0 [,) x ) <-> ( ( z D w ) e. RR* /\ 0 <_ ( z D w ) /\ ( z D w ) < x ) ) )
30 df-3an 1039 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z D w ) e. RR* /\ 0 <_ ( z D w ) /\ ( z D w ) < x ) <-> ( ( ( z D w ) e. RR* /\ 0 <_ ( z D w ) ) /\ ( z D w ) < x ) )
3129, 30syl6bb 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( ( z D w ) e. ( 0 [,) x ) <-> ( ( ( z D w ) e. RR* /\ 0 <_ ( z D w ) ) /\ ( z D w ) < x ) ) )
3231baibd 948 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 e. RR* /\ x e. RR* ) /\ ( ( z D w ) e. RR* /\ 0 <_ ( z D w ) ) ) -> ( ( z D w ) e. ( 0 [,) x ) <-> ( z D w ) < x ) )
3317, 19, 26, 28, 32syl22anc 1327 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. F ) /\ ( z e. y /\ w e. y ) ) -> ( ( z D w ) e. ( 0 [,) x ) <-> ( z D w ) < x ) )
34332ralbidva 2988 . . . . . 6 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. F ) -> ( A. z e. y A. w e. y ( z D w ) e. ( 0 [,) x ) <-> A. z e. y A. w e. y ( z D w ) < x ) )
3515, 34bitrd 268 . . . . 5 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. F ) -> ( ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) <-> A. z e. y A. w e. y ( z D w ) < x ) )
3635rexbidva 3049 . . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) <-> E. y e. F A. z e. y A. w e. y ( z D w ) < x ) )
3736ralbidva 2985 . . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A. x e. RR+ E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) <-> A. x e. RR+ E. y e. F A. z e. y A. w e. y ( z D w ) < x ) )
3837pm5.32da 673 . 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. F A. z e. y A. w e. y ( z D w ) < x ) ) )
391, 38bitrd 268 1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( F e. (CauFil ` D ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. F A. z e. y A. w e. y ( z D w ) < x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   "cima 5117   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   RR+crp 11832   [,)cico 12177   *Metcxmt 19731   Filcfil 21649  CauFilccfil 23050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-xmet 19739  df-fbas 19743  df-fil 21650  df-cfil 23053
This theorem is referenced by:  cfili  23066  fgcfil  23069  iscfil3  23071  cfilresi  23093  cfilres  23094
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